Аддити́вная тео́рия идеа́лов, одна из ветвей современной алгебры. Главная задача аддитивной теории идеалов – представление любого идеала кольца (или другой алгебраической системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примарных, терциарных, примальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление или, что то же, справедлива некоторая теорема «существования»; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется некоторая теорема «единственности». Начало аддитивной теории идеалов положено в 1920–1930-х гг. работами Э. Нётер (Noether. 1921) и В. Крулля (Krull. 1929).

Все особенности аддитивной теории идеалов отчётливо проявляются в случае колец. Пусть $R$ – нётерово кольцо, т. е. ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если $A$ – идеал в $R$, то существует наибольший идеал $N$ кольца $R$, обладающий свойством: $N^k \subseteq A$ для некоторого натурального $k \geqslant 1$. Этот идеал $N$ называется примарным радикалом идеала $A$ (в кольце $R$) и обозначается через $\operatorname{pr}(A)$. Идеал $Q$ кольца $R$ называется примарным, если для любых двух идеалов $A, B$ в $R$ выполняется условие:

$$A B \subseteq Q, \quad A \nsubseteq Q \Rightarrow B \subseteq \operatorname{pr}(Q).$$Для примарных идеалов верна теорема пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом $P$ само есть примарный идеал с тем же радикалом $P$. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования: если кольцо $R$ коммутативно, то для любого идеала $A \neq R$ существует такое представление идеала $A$ в виде пересечения конечного числа примарных идеалов $A_i$:

$$A=A_1 \cap \ldots \cap A_n, \tag{1}$$что ни один из идеалов $A_i$ не содержит пересечения остальных и примарные радикалы $\operatorname{pr}\left(A_i\right)$ попарно различны. Такие представления называются несократимыми или примарно редуцированными (см. Noether. 1921, Lesieur. 1963). Для этих представлений верна теорема единственности: если (1) и

$$A=B_1 \cap \ldots \cap B_m \tag{2}$$– два примарно редуцированных представления идеала $A$ кольца $R$, то $m=n$ и $\operatorname{pr} \left(A_i\right)= \operatorname{pr}\left(B_i\right)$ для $1 \leqslant i \leqslant n$, при надлежащей перенумеровке идеалов $B_i.$

Именно аддитивная теория идеалов нётеровых коммутативных колец (классическая аддитивная теория идеалов) нашла многочисленные применения в различных разделах математики.

Если кольцо $R$ некоммутативно, то теорема «существования», указанная выше, перестаёт быть верной, в то время как теоремы «единственности» и «пересечения» верны. Этот факт начиная с 1930-x гг. привёл к поискам такого обобщения классической примарности на некоммутативный случай, при котором оставалась бы справедливой и теорема «существования». Было найдено нужное обобщение (см. Lesieur. 1963) – терциарность (см. в статье Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при некоторых естественных ограничениях терциарность является единственным «хорошим» обобщением понятия примарности (см. Андрунакиевич. Аддитивная теория идеалов ... 1967; Riley. 1962; Гоян. 1967).

В 1960-е гг. аддитивная теория идеалов развивалась в рамках теорий решёток, систем с частными и мультипликативных систем (см. Lesieur. 1963, Murata. 1959, Андрунакиевич. Аддитивная теория идеалов ... 1967), что дало толчок развитию, например, аддитивной теории идеалов неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля.