Ряд Фурье́ функции $f(x)$ на промежутке $(a,b)$, ряд $$\sum_{k=0}^{\infty}c_kφ_k(x),$$где $\{φ_k(x)\}_k ⩾ 0$ – нормированная ортогональная система функций, а коэффициенты $c_k$ (коэффициенты Фурье) определяются равенствами $$c_k=\int\limits_{a}^{b}f(x)φ_k(x)dx,\quad k=0,1,\ldots .$$О функции $f(x)$ в общем случае предполагается, что её квадрат интегрируем на $(a,b)$. Аналогично строятся ряды Фурье для функций многих переменных. Ряды Фурье по ортонормированным системам функций возникли как обобщение рядов Фурье по тригонометрической системе. Дальнейшие обобщения приводят к рядам Фурье в гильбертовом пространстве.

Ряд Фурье по тригонометрической системе определяется для каждой функции $f$, модуль которой интегрируем на $(0,2π)$. Это ряд

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\tag{1}$$с коэффициентами

$$\begin{gathered}a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos kx\,dx,\\ b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x) \sin kx\,dx.\end{gathered}\tag{2}$$Имея в виду ряд Фурье по тригонометрической системе, обычно говорят просто о ряде Фурье, не указывая, по какой системе они строятся.

Впервые ряды Фурье появились в работах Ж. Фурье (1807), посвящённых исследованию задач теплопроводности. Он предложил для представления функции $f$, заданной на $(0,2π)$ тригонометрическим рядом, брать ряд (1) с коэффициентами (2). Выбор коэффициентов (2) является естественным со многих точек зрения. Например, если формально приравнять ряд (1) функции $f(x)$, то почленное интегрирование приводит к коэффициентам $a_k$, $b_k$, определяемым по формулам (2). Так их получал ещё Л. Эйлер (1777).

Интеграл в (2) можно понимать по-разному, например как интеграл Римана или Лебега. В зависимости от этого говорят о рядах Фурье – Римана, Фурье – Лебега и т. п. Современный вид теория рядов Фурье приобрела после построения интеграла Лебега, после чего она развивается главным образом как теория рядов Фурье – Лебега.

В теории рядов Фурье исследуются вопросы представления функций с помощью рядов Фурье, изучается связь свойств функции со свойствами её ряда Фурье.

Если квадрат функции $f$ интегрируем, то частичные суммы ряда Фурье $$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$обращают в минимум интеграл $$\int\limits_{0}^{2\pi}[f(x)-t_n(x)]^2\,dx,$$где $t_n$ – произвольный тригонометрический многочлен порядка $n$, при этом $$\int\limits_{0}^{2\pi}[f(x)-s_n(x)]^2dx\rightarrow0,\quad n\rightarrow\infty,$$т. е. функции с интегрируемым квадратом сколь угодно хорошо аппроксимируются частичными суммами своих рядов Фурье в смысле среднего квадратичного отклонения. Справедливо неравенство $$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \leqslant \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} \{f(x)\}^2\,dx,$$называемое неравенством Бесселя, а также равенство Парсеваля.

Первый признак сходимости ряда Фурье получил П. Дирихле (1829), обобщением его результата является теорема Жордана (1881): если вариация функции f конечна, то её ряд Фурье сходится для всех $x$, причём в точках непрерывности он сходится к $f(x)$, а в точках разрыва – к полусумме предельных значений $f(x{+}0)$ и $f(x{-}0)$. Согласно принципу локализации, доказанному Б. Риманом (1853), сходимость или расходимость ряда Фурье функции $f$ в точке $x$ и значение его суммы в случае сходимости зависят только от поведения функции $f$ в как угодно малой окрестности этой точки. Известно много разных признаков сходимости ряда Фурье в точке. Например, немецкий математик Р. Липшиц установил (1864), что ряд Фурье функции $f$ сходится в точке $x$, если для достаточно малых $h$ выполнено условие $|f(x+h)-f(x)| ⩽ M|h|^α$, где $M$ и $α$ – некоторые положительные числа.

В 1915 г. Н. Н. Лузин высказал гипотезу о том, что для каждой функции с интегрируемым квадратом её ряд Фурье сходится к ней почти всюду, т. е. для всех действительных $x$, кроме, быть может, множества, для которого мера Лебега равна нулю. Справедливость этой гипотезы установил Л. Карлесон (1966). Если о функции не предполагать ничего, кроме интегрируемости её модуля, то её ряд Фурье может оказаться расходящимся почти всюду или всюду. Первые такие примеры построил А. Н. Колмогоров (1923).

Поскольку частичные суммы ряда Фурье сходятся не всегда, рассматривается суммирование ряда Фурье, когда для представления функции используются те или иные средние частичных сумм её ряда Фурье.