Сумми́рование рядо́в, построение обобщённых сумм рядов, которые являются расходящимися. Расходящиеся ряды часто встречаются на практике (например, в теории электромагнитного поля и в других разделах современной физики); они могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщённом смысле, обладающую некоторыми свойствами обычной суммы сходящегося ряда. При суммировании расходящихся рядов обычно требуется, чтобы из того, что ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ суммируется к $S$, а ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ суммируется к $T$, следовало бы, что ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (\lambda a_n+\mu b_n)$ суммируется к $λS+μT$, где $\lambda$, $\mu$ – произвольные числа, а ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ суммируется к $S-a_0$. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы суммирования, т. е. методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме.

В большинстве методов суммирования рядов расходящийся ряд рассматривается в некотором смысле как предел некоторого сходящегося ряда, а именно, каждый член ряда$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \tag{1}$$умножается на множитель $\lambda_n(t)$ так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \lambda_n(t) \tag{2}$$с суммой $σ(t)$. При этом множители $\lambda_n(t)$ выбираются так, чтобы при каждом фиксированном $n$ предел $\lambda_n(t)$ при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра $t$ равнялся $1$. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом $σ(t)$ имеет предел, то этот предел называется обобщённой суммой ряда (1), соответствующей данному выбору множителей $\lambda_n(t)$ (или данному методу суммирования).

Например, если положить $\lambda_n(t)=1$ при $n ⩽ t$ и $\lambda_n(t)=0$ при $n > t$ и брать $t→∞$, то получится обычное определение суммы ряда; при $\lambda_n(t)=t^n$, $0 < t < 1$, и $t→1$ получается метод суммирования Абеля – Пуассона. Часто задаётся не результат умножения членов ряда (1) на $\lambda_n(t)$, а соответственное изменение частичных сумм ряда. Например, в методе суммирования Чезаро средних арифметических полагают $$S=\lim_{m\to\infty}σ_m,$$где $$σ_m=\frac{S_0+\ldots+S_m}{m+1},\qquad S_k=a_0+...+a_k.$$Этот метод соответствует выбору $\lambda_n(m)=(m-n+1)/(m+1)$ при $n ⩽ m$ и $\lambda_n(m)=0$ при $m > n$. Если положить $$\begin{aligned}A_n^0&=S_n,\quad &A_n^k&=A_0^{k-1}+...+A_n^{k-1},\\ E_n^0&=1,\quad &E_n^k&=E_0^{k-1}+...+E_n^{k-1},\end{aligned}$$то в случае, когда существует $$\lim_{n\to\infty}( A_n^k/E_n^k)=A,$$говорят, что ряд (1) суммируется к $A$ методом Чезаро $k$-го порядка. Рассматриваются и методы Чезаро дробных порядков. С ростом $k$ возрастают возможности метода Чезаро, т. е. расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля – Пуассона и притом к той же сумме.

Методы суммирования Чезаро и Абеля – Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к ней методом Чезаро 1-го порядка, а тем самым и методом Абеля – Пуассона. Г. Ф. Вороной предложил метод суммирования рядов, частными случаями которого являются все методы Чезаро: пусть $p_0=0$, $p_n ⩾ 0$, $n=1,2, \ldots$, $P_n=p_0+ \ldots+p_n$; тогда обобщённой суммой ряда (1), по Вороному, называется $$S=\lim_{m\to\infty} \frac{p_m S_0+...+p_0 S_m}{P_m}.$$Метод суммирования Вороного регулярен, если $$\lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{P_n}=0.$$Теория расходящихся интегралов аналогична теории расходящихся рядов. Например, если интеграл $$\int\limits_0^{\infty} f(x)\,dx$$расходится и существует предел $$\lim_{N\rightarrow\infty} \int\limits_0^N \left( 1-\frac{x}{N}\right)^\lambda f(x)\,dx=A,$$то говорят, что первый интеграл суммируем к $A$ методом Чезаро порядка $\lambda$.