Признак Коши

При́знак Коши́ (радикальный признак Коши), признак сходимости числового ряда: если для числового ряда $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ с неотрицательными членами существует такое число $q$, $0 < q < 1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство $\sqrt[n]{u_n}\leqslant q$, равносильное условию $\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}<1$, то данный ряд сходится. Если же, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство $\sqrt[n]{u_n}> 1$ или даже менее того, существует подпоследовательность $u_{n_k}$, $k=1, 2, \ldots$, для членов которой имеет место неравенство $\sqrt[\raisebox{0.7ex}{$\scriptscriptstyle n_k$}]{u_{n_k}}> 1$, то ряд расходится.

В частности, если существует $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}<1$, то ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, если существует $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}>1$, то ряд расходится. Признак установлен О. Л. Коши (Cauchy, 1821). Для рядов $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ с членами $u_n$ произвольных знаков из условия $\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}>1$ следует расходимость ряда; из условия $\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}<1$ – абсолютная сходимость ряда.