Научные законы, утверждения, уравнения

Признак Коши

При́знак Коши́ (радикальный признак Коши), признак числового : если для числового ряда n=1un\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n с неотрицательными членами существует такое число qq, 0<q<10 < q < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство unnq\sqrt[n]{u_n}\leqslant q, равносильное условию limnunn<1 \mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}<1 , то данный ряд сходится. Если же, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство unn>1\sqrt[n]{u_n}> 1 или даже менее того, существует подпоследовательность unku_{n_k}, k=1,2,k=1, 2, \ldots, для членов которой имеет место неравенство unknk>1\sqrt[\raisebox{0.7ex}{$\scriptscriptstyle n_k$}]{u_{n_k}}> 1, то ряд расходится.

В частности, если существует limnunn<1\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}<1, то ряд n=1un\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n сходится, если существует limnunn>1\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}>1, то ряд расходится. Признак установлен (Cauchy, 1821). Для рядов n=1un\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n с членами unu_n произвольных знаков из условия limnunn>1 \mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}>1 следует расходимость ряда; из условия limnunn<1 \mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}<1 – абсолютная сходимость ряда.

  • Признак сходимости
  • Ряды