Признак сравнения
При́знак сравне́ния, признак сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Его наиболее простая форма состоит в следующем. Пусть даны два числовых ряда с неотрицательными членами:
Если существует номер такой, что при любом имеет место неравенство , то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).
Близкими признаку сравнения являются следующие три вытекающие из него утверждения; они иногда также называются признаками сравнения.
1. Если существуют два положительных числа , и номер такие, что для всех имеет место равенство то оба ряда (A) и (B) сходятся или расходятся одновременно.
2. Если все члены ряда (B) отличны от нуля и существует предел
то из сходимости ряда (B), при , следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (B), при , следует расходимость ряда (A). Таким образом, при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
3. Если все члены рядов (A) и (B) отличны от нуля и существует номер такой, что при любом имеет место неравенство
то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).
Признак сравнения является фундаментальным признаком сходимости рядов с неотрицательными членами; из него, в частности, выводятся признак Коши, признак Дирихле, признак Раабе.