Научные законы, утверждения, уравнения

Признак сравнения

При́знак сравне́ния, признак числовых с неотрицательными членами. Его наиболее простая форма состоит в следующем. Пусть даны два числовых ряда с неотрицательными членами:

n=1an=a1+a2+(an0 для n=1,2,),(A)\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+\ldots\quad (a_n\geqslant0 \text{ для } n=1,2,\ldots),\tag{A}n=1bn=b1+b2+(bn0 для n=1,2,).(B)\sum_{n=1}^\infty b_n = b_1+b_2+\ldots \quad (b_n\geqslant0 \text{ для } n=1,2,\ldots).\tag{B}Если существует номер NNN\in\mathbb N такой, что при любом n>Nn>N имеет место неравенство anbna_n\leqslant b_n, то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Близкими признаку сравнения являются следующие три вытекающие из него утверждения; они иногда также называются признаками сравнения.

1. Если существуют два положительных числа cc, CC и номер NNN\in\mathbb N такие, что для всех n>Nn>N имеет место равенство cbnanCbn,cb_n\leqslant a_n \leqslant Cb_n,то оба ряда (A) и (B) сходятся или расходятся одновременно.

2. Если все члены ряда (B) отличны от нуля и существует

limanbn=K(0K+),\lim\frac{a_n}{b_n}=K\quad (0\leqslant K\leqslant+\infty),то из сходимости ряда (B), при K<+K<+\infty, следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (B), при K>0K>0, следует расходимость ряда (A). Таким образом, при 0<K<+0<K<+\infty оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

3. Если все члены рядов (A) и (B) отличны от нуля и существует номер NNN\in\mathbb N такой, что при любом n>Nn>N имеет место неравенство

an+1anbn+1bn,\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_n},то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Признак сравнения является фундаментальным признаком сходимости рядов с неотрицательными членами; из него, в частности, выводятся , , .

  • Ряды