Признак сравнения

При́знак сравне́ния, признак сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Его наиболее простая форма состоит в следующем. Пусть даны два числовых ряда с неотрицательными членами:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+\ldots\quad (a_n\geqslant0 \text{ для } n=1,2,\ldots),\tag{A}$$$$\sum_{n=1}^\infty b_n = b_1+b_2+\ldots \quad (b_n\geqslant0 \text{ для } n=1,2,\ldots).\tag{B}$$Если существует номер $N\in\mathbb N$ такой, что при любом $n>N$ имеет место неравенство $a_n\leqslant b_n$, то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Близкими признаку сравнения являются следующие три вытекающие из него утверждения; они иногда также называются признаками сравнения.

1. Если существуют два положительных числа $c$, $C$ и номер $N\in\mathbb N$ такие, что для всех $n>N$ имеет место равенство $$cb_n\leqslant a_n \leqslant Cb_n,$$то оба ряда (A) и (B) сходятся или расходятся одновременно.

2. Если все члены ряда (B) отличны от нуля и существует предел

$$\lim\frac{a_n}{b_n}=K\quad (0\leqslant K\leqslant+\infty),$$то из сходимости ряда (B), при $K<+\infty$, следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (B), при $K>0$, следует расходимость ряда (A). Таким образом, при $0<K<+\infty$ оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

3. Если все члены рядов (A) и (B) отличны от нуля и существует номер $N\in\mathbb N$ такой, что при любом $n>N$ имеет место неравенство

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\frac{b_{n+1}}{b_n},$$то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Признак сравнения является фундаментальным признаком сходимости рядов с неотрицательными членами; из него, в частности, выводятся признак Коши, признак Дирихле, признак Раабе.