При́знак Д'Аламбе́ра, признак сходимости числовых рядов: если для числового ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$$существует такое число $q$, $0 < q < 1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

$$\frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}< q,$$то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера,

$$\frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}\geqslant1,$$то ряд расходится. В частности, если существует предел

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}< 1,$$то рассматриваемый ряд абсолютно сходится, а если

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}> 1,$$то он расходится. Например, ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$$абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\left|\dfrac{z^{n+1}}{(n+1)!}\right|}{\left|\dfrac{z^{n}}{n!}\right|}=0,$$а ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n!}{z^n}$расходится при всех $z\neq0$, так как

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\left|{(n+1)!}{z^{n+1}}\right|}{\left|{n!}{z^{n}}\right|}=+\infty.$$Если $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\left|{u_{n+1}}\right|}{\left|{u_{n}}\right|}=1,$ то ряд может как сходиться, так и расходиться: ряды$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} \quad \textrm{и} \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$удовлетворяют этому условию, причем первый ряд сходится, а второй расходится.

Признак установлен Ж. Д’Аламбером в 1768 г.