Научные направления

Гармонический анализ

Гармони́ческий ана́лиз (анализ Фурье), раздел , изучающий представления функций, описывающих сложные колебания, с помощью более простых функций, например вида Asin(ωx+φ)A \sin(ωx+φ), где A,ω,φA,ω,φ – постоянные, а xx – переменная. К гармоническому анализу относят теорию , теорию , теорию , вопросы, связанные с ортогональными разложениями и приближениями функций тригонометрическими полиномами. В гармоническом анализе изучаются функции как одной, так и многих переменных.

Периодическая функция при не очень жёстких дополнительных условиях равна сумме своего ряда Фурье, являющегося рядом из гармонических компонент, коэффициентами которых служат функции. Для представления непериодических функций используются интегралы Фурье.

Гармонический анализ зародился в середине 18 в. при исследовании задачи о колебании струны. Важную роль в развитии гармонического анализа сыграли работы начала 19 в. В самостоятельную математическую дисциплину гармонический анализ оформился в конце 19 – начале 20 вв. В дальнейшем обнаружились тесные связи гармонического анализа с общими проблемами теории функций и .

Методы гармонического анализа используются во многих областях математики: в при изучении граничных свойств , в для решения , в для изучения свойств распределений с помощью , а также в физике и технике.

Разработаны разнообразные приёмы т. н. практического гармонического анализа, служащие для приближённого вычисления коэффициентов Фурье и нахождения полиномов, аппроксимирующих заданную функцию, когда точное решение найти затруднительно или невозможно (например, когда функция задана графиком или таблицей значений).

  • Ряды Фурье