Крите́рий Коши́, общее название нескольких аналогичных друг другу критериев сходимости последовательностей, рядов и интегралов.

1. Критерий Коши сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) $x_n$, $n = 1, 2, ...$, имела предел, необ­ходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ существовал такой номер $N$, что для всех $n\geqslant N$ и $m\geqslant N$ выполнялось неравенство

$$\left|x_n - x_m\right|<\varepsilon.$$Критерий Коши сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрического пространства.

Последовательность точек $\{x_n\}$ полного метрического про­странства сходится в том и только в том случае, когда для любого $\varepsilon> 0$ существует такое $N$, что для всех $n\geqslant N$ и $m\geqslant N$ выполняется неравенство $\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$.

2. Критерий Коши существования предела функций $n$ переменных $(n\geqslant1)$. Пусть функция $f$ определена на множестве $X$ $n$-мерного пространства $R^n$ и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, $a$ – предельная точка множества $X$ (или символ $\infty$, в этом случае множество $X$неограниченно). Конечный предел $\lim\limits_{x\rightarrow a,\ x\in X} f(x)$ существует тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon> 0$ найдется такая окрестность $U = U (a)$ точки $a$, что для любых $x'\in U\cap X$и $x''\in U\cap X$выполняется неравенство

$\left|f(x')-f(x'')\right|<\varepsilon.$Этот критерий обобщается на более общие отображе­ния: пусть $X$ – топологическое пространство, $a$ – его предельная точка, в которой выполняется первая аксиома счётности, $Y$ – полное метрическое пространство и $f$ – отображение $X$в $Y$. Для того чтобы существовал предел

$\lim\limits_{x\to a} f(x),$необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ существовала окрестность $U = U (a)$ точки $a$ такая, что для всех $x'\in U$ и $x''\in U$ выполнялось неравенство

$\rho\left( f(x'')-f(x')\right)<\varepsilon.$3. Критерий Коши равномерной сходимости семейства функций. Пусть $X$ – некоторое множество, $Y$ – топологическое пространство, удовлетворяющее в предельной точке $y_0\in Y$первой аксиоме счётности, $R$ – полное метрическое пространство, $f (x, y)$ – отображение множества $X\times Y$в $R$, $x\in X$, $y\in Y$. Семейство отображений $f (x, y)$, отображающих при фиксированном $y\in Y$ множество $X$ в $R$, является равномерно сходящимся на $X$ при $y\rightarrow y_0$, если для любого $\varepsilon> 0$ существует такая окрестность $U = U (y_0)$ точки $y_0$, что для всех $y'\in U$, $y''\in U$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство

$\rho(f(x, y''), f(x, y'))<\varepsilon.$В частности, если $Y$– множество натуральных чисел и $f_n(x) = f ( x , n)$, то последовательность $\{f_n(x)\}$ равномерно сходится на множестве $X$ при $n\rightarrow\infty$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon> 0$ существует такой номер $N$, что для всех $x\in X$и всех номеров $n\geqslant N$ и $m\geqslant N$ выполняется неравенство

$\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\varepsilon.$4. Критерий Коши сходимости ряда: числовой ряд $\displaystyle\sum\limits_{x=1}^{\infty}u_n$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon> 0$ существует такой номер $N$, что для всех $n\geqslant N$и всех целых $p\geqslant 0$ выполняется неравенство

$$\left|\sum\limits_{k=1}^{p}u_{n+k}\right|<\varepsilon.$$Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости называется критерием Коши – Штольца. Например, для того чтобы двойной ряд $\displaystyle\sum\limits_{n,\, m=1}^{\infty}u_{nm}$ сходился по прямоугольным частичным суммам

$$S_{nm}=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{m} u_{kl},$$

необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ на­шлось такое $N$, что при всех $n\geqslant N$, $m\geqslant N$ и всех целых $р\geqslant0$ и $q\geqslant0$ выполнялось неравенство

$\left|S_{n+p, m+q} - S_{nm}\right|<\varepsilon.$Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов).

5. Критерий Коши равномерной сходимости ряда: пусть $u_n=u_n(x)$, $n = 1, 2, ...$, – функции, определенные на некотором множестве $X$ и принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд

$$\sum\limits_{m=1}^{\infty}u_n(x)$$равномерно сходился на множестве $X$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ существовал такой номер $N$, что для всех $n\geqslant N$, целых $p\geqslant0$ и $x\in X$ выпол­нялось неравенство

$$\left|\sum\limits_{k=1}^{p}u_{m+k}(x)\right|<\varepsilon.$$Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены которых принадлежат банаховым пространствам, т. е. когда $u_n(x)$ являются отображениями множества $X$ в некоторое банахово пространство.

6. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов: пусть функция $f$ определена на полуинтервале $[a,b)$, $-\infty < a < b <+\infty$, принимает на нем числовые значения и при любом $c\in (a, b)$ интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке $[a, c]$. Для того чтобы несобственный интеграл

$$\int\limits_a^b f(x)dx$$сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ существовало такое $\eta\in (a, b)$, что для всех $\eta'$ и $\eta''$, удовлетворяющих условию $\eta<\eta'<b$, $\eta<\eta''<b$, выполнялось неравенство

$$\left|\int\limits_{\eta'}^{\eta''}f(x) dx\right|< \varepsilon.$$Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция $f$ зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве.

7. Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция $f(x, y)$ при каждом фиксированном $y\in Y$, где $Y$ – некоторое множество, определена на полуинтервале $[a, b)$, $-\infty < a < b <+\infty$, принимает числовые значения и при любом $c\in (a, b)$ интегрируема по $x$ на отрезке $[a, c]$. Для того чтобы интеграл

$$\int\limits_a^b f(x, y)dx, \quad y\in Y,$$равномерно сходился на множестве $Y$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon> 0$ нашлось такое $\eta\in(a,b)$, что для любых $\eta'$ и $\eta''$, удовлетворяющих условиям $\eta<\eta'<b$, $\eta<\eta''<b$ и всех $y\in Y$, выполнялось неравенство

$$\left|\int\limits_{\eta'}^{\eta''}f(x, y) dx\right|< \varepsilon.$$Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения которых лежат в банаховых пространствах.