Интегра́льный при́знак сходи́мости (признак Маклорена – Коши, признак Коши – Маклорена), признак одновременной сходимости числового ряда и несобственного интеграла, определяемых некоторой функцией. Он состоит в следующем. Пусть $f(x)$ – вещественная функция, определённая на промежутке $[1,+\infty)$, неотрицательная (т. е. $f(x)\geqslant 0$ для всех $x\geqslant 1$) и монотонно невозрастающая (т. е. $f(x_2)\leqslant f(x_1)$, если $x_2\geqslant x_1$). Тогда числовой ряд $$\sum_{n=1}^\infty f(n)=f(1)+f(2)+\ldots\tag{1}$$сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интеграл$$\int\limits_1^\infty f(x)\,dx.\tag{2}$$Для частичных сумм $S_m=f(1)+f(2)+\ldots+f(m)$ ряда (1) при сделанных предположениях имеет место неравенство $$S_{m+1}-f(1)\leqslant \int\limits_1^{m+1}f(x)\,dx \leqslant S_m,\quad m=1,2,\ldots,\tag{3}$$а для остатка $r_m=\displaystyle\sum_{n=m+1}^\infty f(n)$ ряда (1) справедлива оценка $$\int\limits_{m+1}^\infty f(x)\,dx\leqslant r_m\leqslant \int\limits_{m}^\infty f(x)\,dx, \quad m=1,2,\ldots.\tag{4}$$В учебной литературе в формулировке интегрального признака сходимости вместе с монотонностью и неотрицательностью функции $f(x)$ иногда дополнительно требуется её непрерывность. Такое требование излишне, поскольку монотонность функции $f(x)$ влечёт её интегрируемость на любом отрезке $[a,b]\subset[1,+\infty);$ последнее свойство оказывается достаточным для доказательства неравенства (3), из которого легко следует интегральный признак сходимости.

Интегральный признак сходимости позволяет свести исследование сходимости ряда (1) к исследованию сходимости несобственного интеграла (2). Проверка сходимости интеграла (2), а также вычисление интегралов, входящих в неравенства (3) и (4), существенно упрощаются, если для функции $f(x)$ удаётся в явном виде найти первообразную $F(x)$ на промежутке $[1,+\infty)$: тогда сходимость интеграла (2) эквивалентна условию конечности предела $F(+\infty)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$. Поскольку $F(x)$ монотонно не убывает (т. к. функция $f(x)$ неотрицательна), конечность значения $F(+\infty)$ также эквивалентна ограниченности сверху функции $F(x)$. Например, первообразная функции $f_\alpha(x)=\dfrac{1}{x^\alpha}$ (где $\alpha$ – вещественное число) на множестве положительных чисел есть функция

$$F_\alpha(x)=\begin{cases} \ln x,\ &\text{если $\alpha=1$,}\\ \frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}, &\text{если $\alpha\neq1$}, \end{cases}$$которая ограничена сверху в том и только том случае, если $\alpha>1$ (и тогда $F_\alpha(+\infty)=0$). Поэтому ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty f_\alpha(n)$$сходится при $\alpha>1$ и расходится при $\alpha\leqslant 1$.

Впервые интегральный признак сходимости дан в геометрической форме К. Маклореном в «Трактате о флюксиях» (MacLaurin. 1742. P. 289–290), а впоследствии открыт заново О. Коши, который придал его формулировке современный вид (см. в полном собрании сочинений Коши: Cauchy. 1889).