Признак Вейерштрасса

При́знак Вейерштра́сса равномерной сходимости, утверждение, дающее достаточные условия равномерной сходимости ряда или последовательности функций посредством сравнения их с соответствующими числовыми рядами и последовательностями; установлен К. Вейерштрассом (Weierstrass. 1886). Если для ряда

$$\sum_{n=1}^\infty u_n(x),$$составленного из действительных или комплексных функций, определенных на некотором множестве $E$, существует числовой сходящийся ряд

$$\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$$такой, что

$$|u_n(x)|\leqslant a_n,\quad n=1,2,\ldots,$$то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве $E$. Например, ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n^2}$$абсолютно сходится на всей действительной оси, поскольку

$$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\leqslant \frac 1{n^2}$$и ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$$сходится.

Если для последовательности действительных или комплексных функций $f_n(x), n=1,2,\ldots$, сходящейся на множестве $E$ к функции $f(x)$, существует бесконечно малая числовая последовательность $\alpha_n$ такая, что $|f(x)-f_n(x)|\leqslant\alpha_n$, $x\in E$, $n=1,2,\ldots$, то данная последовательность сходится на множестве $E$ равномерно. Например, последовательность

$$f_n(x)=1-\frac{(-1)^n}{x^2+n}$$равномерно на всей действительной оси сходится к функции $f(x)=1$, т. к.

$$\left|1-f_n(x)\right|<\frac 1n\quad \text{и } \lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости переносится на функции, значения которых лежат в нормированных линейных пространствах.