Научные законы, утверждения, уравнения

Признак Вейерштрасса

При́знак Вейерштра́сса равномерной , утверждение, дающее достаточные условия равномерной сходимости или функций посредством сравнения их с соответствующими числовыми рядами и последовательностями; установлен (). Если для ряда

n=1un(x), \sum_{n=1}^\infty u_n(x),составленного из действительных или комплексных функций, определенных на некотором множестве EE, существует числовой сходящийся ряд

n=1an(x)\sum_{n=1}^\infty a_n(x)такой, что

un(x)an,n=1,2,,|u_n(x)|\leqslant a_n,\quad n=1,2,\ldots,то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве EE. Например, ряд

n=1sinnxn2\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n^2}абсолютно сходится на всей действительной оси, поскольку

sinnxn21n2\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\leqslant \frac 1{n^2}и ряд

n=11n2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}сходится.

Если для последовательности действительных или комплексных функций fn(x),n=1,2,f_n(x), n=1,2,\ldots, сходящейся на множестве EE к функции f(x)f(x), существует бесконечно малая числовая последовательность αn\alpha_n такая, что f(x)fn(x)αn|f(x)-f_n(x)|\leqslant\alpha_n, xEx\in E, n=1,2,n=1,2,\ldots, то данная последовательность сходится на множестве EE равномерно. Например, последовательность

fn(x)=1(1)nx2+nf_n(x)=1-\frac{(-1)^n}{x^2+n}равномерно на всей действительной оси сходится к функции f(x)=1f(x)=1, т. к.

1fn(x)<1nи limn1n=0.\left|1-f_n(x)\right|<\frac 1n\quad \text{и } \lim_{n\to\infty}\frac1n=0.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости переносится на функции, значения которых лежат в .

  • Последовательности
  • Ряды
  • Признак сходимости