Коммутати́вная ба́нахова а́лгебра, банахова алгебра $A$ с единицей над полем $\mathbb{C}$, в которой $x y=y x$ для всех $x$, $y \in A$.

Всякий максимальный идеал коммутативной банаховой алгебры $A$ является ядром некоторого линейного непрерывного мультипликативного функционала $\varphi$ на $A$, т. е. гомоморфизма алгебры $A$ в поле комплексных чисел. Обратно, всякий линейный мультипликативный функционал на коммутативной банаховой алгебре непрерывен, имеет норму $1$, и его ядром служит максимальный идеал в $A$. Пусть $\Phi$ – множество линейных мультипликативных функционалов на $A$. Элемент $a \in A$ тогда и только тогда обратим, когда $\varphi(a) \neq 0$ для всех $\varphi \in \Phi$. Более того, спектр $\sigma(a)$ состоит в точности из чисел вида $\varphi(a)$. Если линейный непрерывный функционал $\psi$ на $A$ таков, что $\psi(a) \in \sigma(a)$ для любого $a \in A$, то $\psi$ – мультипликативный функционал; для алгебр над полем действительных чисел это, вообще говоря, уже неверно.

Примеры описания максимальных идеалов в коммутативной банаховой алгебре. Пусть $A=C(X)$ – алгебра всех непрерывных функций на компакте $X$. Если $x_0$ фиксированная точка из $X$, то совокупность функций $f \in A$, для которых $f\left(x_0\right)=0$, образует максимальный идеал и в $C(X)$ нет других максимальных идеалов. Если $X$ – компакт на комплексной плоскости и $A=R(X)$ – замкнутая подалгебра в $C(X)$, состоящая из функций, которые равномерно аппроксимируются на $X$ рациональными функциями с полюсами вне $X$, то максимальные идеалы в $R(X)$ устроены так же, как и в $C(X)$. Пусть $L^1(G)$ – групповая алгебра, где $G$ – дискретная абелева группа, и каждому элементу $f \in L^1(G)$ ставится в соответствие его преобразование Фурье. Если $\varphi$ – мультипликативный линейный функционал на $L^1(G)$, то $\varphi(f)=\hat{f}\left(\chi_0\right)$ для некоторого $\chi_0$ из группы характеров $\widehat{G}$ группы $G$, поэтому множество максимальных идеалов в $L^1(G)$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством элементов группы $\hat{G}$. В применении к группе целых чисел $\mathbb{Z}$ последний пример приводит к доказательству известной теоремы Винера: если функция $\hat{f}(t)$ разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд и не обращается в нуль на $[0,2 \pi]$, то $1 / \hat{f}(t)$ также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд.

Так как мультипликативные линейные функционалы имеют норму $1$, то каждый такой функционал является элементом из единичной сферы банахова пространства, сопряжённого $A$. Множество $\Phi$ всех мультипликативных линейных функционалов на $A$ замкнуто в слабой топологии сопряжённого пространства. Так как единичный пар сопряжённого пространства есть компакт в слабой топологии сопряжённого пространства, то и $\Phi$ в этой топологии является компактом, который называется пространством максимальных идеалов алгебры $A$ и обозначается через $\mathfrak{M}$.

Если коммутативная банахова алгебра содержит нетривиальный идемпотент, т. е. такой элемент $f \in A$, что $f \neq 0$, $f \neq e$ и $f^2=f$, то пространство максимальных идеалов алгебры $A$ несвязно. Обратно, если пространство $X$ максимальных идеалов алгебры $A$ представимо в виде объединения двух непересекающихся замкнутых множеств $X_0$ и $X_1$, то существует элемент $f \in A$ такой, что $\left.\hat{f}\right|_{X_0}=0$ и $\left.\hat{f}\right|_{X_1}=1$ (теорема Шилова). В частности, пространство максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры связно тогда и только тогда, когда эта алгебра не может быть представлена в виде прямой суммы двух своих нетривиальных идеалов.

Пусть $\varepsilon_1(A)$ – подгруппа в группе $\varepsilon(A)$ обратимых элементов алгебры $A$, состоящая из экспонент, т. е. элементов вида $\exp a=\sum_0^{\infty} \frac{a^n}{n !}$. Подгруппа $\varepsilon_1(A)$ образует связную компоненту единицы в группе $\varepsilon(A)$. Для любого компакта $X$ имеется канонический изоморфизм между группами $H^1(X, \mathbb{Z})$ и $\varepsilon(C) / \varepsilon_1(C)$, где $C=C(X)$ – алгебра всех непрерывных функций на $X$ (теорема Брушлинского – Эйленбергa). Оказывается, этот изоморфизм естественно индуцирует изоморфизм между $H^1(X, \mathbb{Z})$ и $\varepsilon(A) / \varepsilon_1(A)$, где $A$ – любая коммутативная банахова алгебра, пространством максимальных идеалов которой является $X$ (теорема Аренса – Ройдена). В некоторых случаях аналогичную интерпретацию допускают группы $H^q(X, \mathbb{Z})$ с нечётным $q$. Алгебра $A$ допускает следующее каноническое представление в алгебру $C(\mathfrak{M}).$ Преобразованием Гельфанда элемента $a \in A$ называется функция $\hat{a}$ на $\mathfrak{M}$, значение которой в каждой точке $x \in \mathfrak{M}$ определяется правилом $\hat{a}(x)=\varphi_x(a)$, где $\varphi_x$ – линейный мультипликативный функционал, соответствующий точке $x \in \mathfrak{M}$. Ядром гомоморфизма $a \mapsto \hat{a}$ служит совокупность элементов $a \in A$, принадлежащих всем максимальным идеалам, т. е. радикал алгебры $A$. Если алгебра $A$ полупроста, т. е. $\operatorname{Rad} A=\{0\}$, то гомоморфизм $a \mapsto \hat{a}$ оказывается (алгебраическим) изоморфизмом $A$ в $C(\mathfrak{M})$. Полупростые коммутативные банаховы алгебры часто называют алгебрами функций.

Представление Гельфанда хорошо приспособлено для изучения полупростых алгебр: один из основных результатов теории коммутативных банаховых алгебр есть возможность изоморфного представления полупростой алгебры в алгебру непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов. Об общих алгебрах с радикалом известно гораздо меньше, чем о полупростых. Описаны все идеалы в алгебре комплексных полиномов степени $\leqslant m$. Эта алгебра состоит из формальных полиномов $\xi=a_0+a_1 \lambda+\ldots+a_m \lambda^m$, которые перемножаются по обычным правилам, но с учётом соотношения $\lambda^{m+1}=0$. Такая алгебра конечномерна, все нормы в ней эквивалентны и любой идеал замкнут. Совокупность $I_k$ тех $\xi$, для которых $a_j=0$ при $j \leqslant k$, образует замкнутый идеал; других идеалов в этой алгебре нет. Всякая алгебра с единственным нетривиальным идеалом изоморфна алгебре полиномов первой степени. До сих пор неизвестно (1978), верно ли это для алгебр с единственным замкнутым идеалом.

Естественным бесконечномерным аналогом алгебры полиномов служат алгебры бесконечных комплексных формальных степенных рядов $\xi=a_0+a_1 \lambda+a_2 \lambda^2+\ldots$ c обычными операциями и нормой $||\xi||=\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_k\right| \alpha_k$, где $\alpha_k$ – положительная последовательность, удовлетворяющая условию $\alpha_{k+l} \leqslant \alpha_k \alpha_l$. Если $\alpha_k^{1 / k} \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$, то единственным нетривиальным гомоморфизмом алгебры в поле комплексных чисел служит $\xi \mapsto a_0$. Таким образом, $I_1$ является единственным максимальным идеалом и этот идеал совпадает с радикалом. Идеалы $I_k$, определяемые аналогично конечномерному случаю, дают счётный набор различных замкнутых идеалов. Если последовательность $\alpha_{k+1} / \alpha_k$ монотонна, то этим набором идеалов исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае алгебра может содержать континуальное семейство различных замкнутых идеалов.

При надлежащем выборе последовательности в рассматриваемой алгебре (не имеющей нетривиальных нильпотентов) можно задать ненулевое непрерывное дифференцирование, т. е. ограниченный линейный оператор $D$ такой, что $D(\xi \eta)=D(D \xi) \eta+\xi(D \eta)$. В полупростых алгебрах нет нетривиальных непрерывных дифференцирований, т. к. в любой (не обязательно коммутативной) алгебре имеет место тождество$$(D \xi)^n=\frac{1}{n !} \sum_{k=1}^n(-1)^{k+n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \xi^{n-k} D^n \xi^k,$$если $\xi$ и $D \xi$ коммутируют. В частности, если $D$ непрерывен, то $D \xi$ – обобщённый нильпотент.

Любая конечномерная алгебра разлагается в прямую сумму радикала и полупростой алгебры. В бесконечномерном случае аналогичное утверждение, вообще говоря, перестаёт быть справедливым даже для коммутативной банаховой алгебры. Кроме того, приходится различать случаи алгебраической и сильной (топологической) разложимости.

Оказывается, никакие условия, наложенные только на радикал, не обеспечивают даже алгебраической разложимости: радикал может быть одномерным и аннулирующим некоторый максимальный идеал и тем не менее не выделяться в качестве прямого слагаемого хотя бы в алгебраическом смысле.

C другой стороны, если радикал конечномерен, а факторалгебра есть алгебра всех непрерывных функций (или алгебра всех операторов в гильбертовом пространстве), то имеется сильная разложимость. Если факторалгебра есть алгебра всех непрерывных функций и $R$ – её аннуляторный радикал (т. е. такой, что квадрат любого элемента в $R$ равен нулю) и $A$ имеет банахово дополнение, то $A$ сильно разложима; вместо условия дополняемости $R$ можно потребовать, чтобы пространство максимальных идеалов $A$ удовлетворяло первой аксиоме счётности в каждой точке.

Полностью исследован также случай, когда факторалгебра по радикалу есть алгебра непрерывных функций на вполне несвязном компакте: необходимое и достаточное условие сильной разложимости состоит в равномерной ограниченности идемпотентов исходной алгебры.

Пусть $V$ – некоторая ограниченная область в $\mathbb{C}^n$ и $A$ – замкнутая подалгебра алгебры $C(\bar{V})$, состоящая из функций, голоморфных на $V$. Известно, что в достаточно общих предположениях относительно $V$ любой максимальный идеал алгебры $A$, отвечающий точке $z^0=\left(z_1^0, \ldots, z_n^0\right) \in V$, конечно порождён, а именно порождается функциями $f_i=z_i-z_i^0$. Это утверждение допускает следующее локальное обращение. Пусть $A$ – полупростая коммутативная банахова алгебра с пространством максимальных идеалов $X$. Если максимальный идеал, соответствующий некоторой точке $x_0 \in X$, порождён конечным набором элементов $f_1, \ldots, f_n \in A$, то максимальные идеалы, соответствующие точкам из некоторой окрестности точки $x_0$, порождаются элементами вида $f_i-\lambda_i e$, отображение $\psi: x \mapsto\left(f_1(x), \ldots, f_n(x)\right)$ взаимно однозначно в некоторой окрестности точки $x_0$, функция $g{\circ} \psi^{-1}$ для любого $g \in A$ голоморфна в некоторой фиксированной окрестности начала координат в $\mathbb{C}^n$ и, кроме того, $X$ вблизи $x_0$ допускает введение некоторой естественной аналитической структуры.

Множество $S$ элементов алгебры $A$ называется системой образующих, если наименьшей замкнутой подалгеброй с единицей в $A$, содержащей множество $S$, служит сама алгебра $A$. Единица обычно не включается в число образующих. Если существует конечная система $S$ с указанными свойствами, то $A$ называется алгеброй с конечным числом образующих. Числом образующих алгебры $A$ называют в этом случае наименьшее возможное число элементов в системе образующих.

Если $f_1, \ldots, f_n$ – система образующих некоторой алгебры, то отображение $x \mapsto(\hat{f}_1(x), \ldots, \hat{f}_n(x))$ осуществляет гомеоморфизм пространства максимальных идеалов этой алгебры на некоторый полиномиально выпуклый компакт в $\mathbb{C} n$. Всякий полиномиально выпуклый компакт в $\mathbb{C}^n$ служит пространством максимальных идеалов некоторой банаховой алгебры (например, алгебры равномерных на этом компакте пределов полиномов).

Пространство максимальных идеалов алгебры с $n$ образующими удовлетворяет условию $\operatorname{dim} X \leqslant 2 n$ и обладает рядом других свойств; например, $H^i(X, \mathbb{C})=0$ при $i \geqslant n$. Отсюда, в частности, следует, что число образующих в алгебре $C\left(S^n\right)$, где $S^n$ есть $n$-мерная сфера, равно $n+1$; аналогичный результат имеет место для любого $n$-мерного компактного многообразия $X$. Для любого конечного клеточного $n$-мерного полиэдра $X$ алгебра $C(X)$ допускает систему из $n+1$ образующей.

Наименьшее замкнутое множество $\Gamma \subset X$, где $X$ – пространство максимальных идеалов алгебры $A$, на котором все функции $|\hat{f}|$ достигают максимума, называется границей Шилова пространства $X$. Для любой коммутативной банаховой алгебры с единицей такое множество существует и единственно.

Точка $x_0 \in X$ тогда и только тогда принадлежит $\Gamma$, когда для любой её окрестности $U$ существует такой элемент $f \in A$, для которого $\underset{X}\max |\hat{f}|=1$, но $|\hat{f}(x)|<1$ вне $U$. Более того, если $U$ – открытое множество в $X$ и существует такое замкнутое множество $F \subset U$ и такой элемент $g \in A$, что $|\hat{g}(x)|<\underset{F}\max|\hat{g}|$ для точек $x \in U \backslash F$, то пересечение $\Gamma \cap U$ непусто. В частности, если $X=[0,1]$, тo $\Gamma=X$.

Любой мультипликативный линейный функционал $\varphi$ непрерывен относительно нормы, определяемой спектральным радиусом; более того, $|\varphi(t)| \leqslant \underset{X}\max |\hat{f}|$, где $X$ – пространство максимальных идеалов. В этом неравенстве можно, по определению границы Шилова, заменить $X$ на $\Gamma$; поэтому существует положительная регулярная мера $\mu$ на $\Gamma$, «представляющая» функционал $\varphi$, т. е. такая, что для любого $f \in A$ имеет место равенство $\varphi(f)=\int_{\Gamma} \hat{f} d \mu$. Для случая алгебры аналитических функций в круге эта формула сводится к классической формуле Пуассона. Среди представляющих мер существует мера $\mu$, удовлетворяющая неравенству Иенсена $\ln |\varphi(t)| \leqslant \int_{\Gamma} \ln |\hat{f}| d \mu$ для всех $f \in A$.

Пусть $B$ есть коммутативная банахова алгебра с единицей и $A$ – некоторая её замкнутая подалгебра. Алгебра $A$ называется максимальной подалгеброй алгебры $B$, если $B$ не содержит никакой замкнутой собственной подалгебры, содержащей $A$ и не совпадающей с $A$. Во всякой достаточно широкой алгебре $B$ имеются максимальные подалгебры с единицей и даже замкнутые подалгебры коразмерности $1$. Действительно, если $\varphi_1, \varphi_2$ – два различных гомоморфизма алгебры $B$ в поле комплексных чисел и $\psi=\varphi_1-\varphi_2$, то ядро функционала $\psi$ является замкнутой подалгеброй $A$ алгебры $B$ такой, что $\operatorname{dim} B / A=1$. Аналогично, ядро «точечного дифференцирования», т. е. функционала $\psi$ такого, что $\psi(f g)=\psi(f) \varphi(g)+\psi(g) \psi(f)$, где $\varphi$ – мультипликативный функционал, есть подалгебра коразмерности $1$. В комплексном случае эти примеры исчерпывают всевозможные подалгебры коразмерности $1$. В частности, всякая такая подалгебра алгебры $C(X)$ не разделяет точки компакта $X$, т. к. на $C(X)$ нет никаких (даже разрывных) дифференцирований. Близкое описание допускают все подалгебры конечной коразмерности.

Алгебра $A$ тех непрерывных функций на единичной окружности, которые допускают аналитическое продолжение внутрь единичного круга, является максимальной подалгеброй алгебры непрерывных функций на окружности; это утверждение может рассматриваться как обобщение теоремы Вейерштрасса, которая означает, что замкнутая подалгебра алгебры $C(\Gamma)$, где $\Gamma=\{z:|z|=1\}$, содержащая $A$ и функцию $\bar{z}$, совпадает с $C(\Gamma)$. Алгебра $L_{+}^{1}(\mathbb{R})=\left\{f \in L^1(\mathbb{R}): f(t)=0\,\, при\,\, t<0\right\}$ является замкнутой подалгеброй алгебры $L^1(\mathbb{R})$; эта подалгебра максимальна.

Пусть $\alpha$ – иррациональное число, $A_\alpha$ – алгебра, состоящая из всех тех непрерывных функций на двумерном торе, коэффициенты Фурье которых $c_{m n}=0$ при $m+n \alpha<0$. Эта алгебра является максимальной подалгеброй алгебры всех непрерывных функций тора. Тор служит границей Шилова относительно $A_\alpha$, и $A_\alpha$ есть алгебра Дирихле. Если тор реализовать в виде остова единичного бицилиндра в $\mathbb{C}^2$, то пространство максимальных идеалов $A_\alpha$ идентифицируется с подмножеством бицилиндра, которое описывается уравнением $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|^\alpha$. Точка $(0,0)$ не принадлежит границе Шилова, но является одноточечной долей Глисона (два мультипликативных функционала $\varphi_1$ и $\varphi_2$ на равномерной алгебре принадлежат, по определению, одной и той же доле, если $|| \varphi_1-\varphi_2||<2$). Алгебра $A_\alpha$ аналитична (в смысле свойства единственности: $f=0$, если $\hat{f}(\xi)=0$ для точек непустого открытого множества) на пространстве максимальных идеалов, хотя вещественная размерность пространства максимальных идеалов равна $3$. Алгебра непрерывных функций на $n$-мерном торе, допускающих распространение внутрь соответствующего полицилиндра, не является максимальной при $n>1$, но она максимальна в классе подалгебр, инвариантных относительно голоморфных автоморфизмов тора.