Преобразова́ние Фурье́, одно из интегральных преобразований, – линейный оператор $F$, действующий в пространстве, элементами которого являются функции $f(x)$ от $n$ действительных переменных. Минимальной областью определения $F$ считается совокупность $D=C_{0}^{\infty}$ бесконечно дифференцируемых финитных функций $\varphi$. Для таких функций

$$(F \varphi)(x)=(2 \pi)^{-n / 2} \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi(\xi) e^{-i x \xi}\, d \xi.\tag{1}$$В некотором смысле наиболее естественной областью определения $F$ является совокупность $S$ бесконечно дифференцируемых функций $\varphi(x)$, исчезающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее любой степени $|x|$. Формула $(1)$ сохраняется для $\varphi\in S$ и при этом $(F\varphi)(x)\equiv\psi(x)\in S$. Бoлее того, $F$ осуществляет изоморфизм $S$ на себя, обратное отображение $F^{-1}$ — обращение преобразования Фурье, обратное преобразование Фурье, — задается формулой:

$$\displaystyle\varphi(x)=(F^{-1}\psi)(x)=(2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n}} \psi(x) e^{ix\xi}\, d\xi.$$Формула $(1)$ еще действует в пространстве $L_{1}(\mathbb{R}^{n})$ суммируемых функций. Дальнейшее расширение области определения оператора $F$ требует обобщения формулы $(1)$. В классическом анализе такие обобщения строятся для локально суммируемых функций с теми или иными ограничениями на их поведение при $|x| \rightarrow \infty$ (см. интеграл Фурье). В теории обобщённых функций определение оператора $F$освобождено от многих требований классического анализа.

Основные задачи, связанные с изучением преобразования Фурье $F$: исследование области определения $\Phi$ оператора $F$ и области его значений $F\Phi\equiv\Psi$, свойства отображения $F:\Phi\rightarrow\Psi$ (в частности, условия существования обратного оператора $F^{-1}$ и его выражение). Формула обращения преобразования Фурье весьма проста:

$$F^{-1}[g(x)]=F[g(-x)].$$Под действием преобразования Фурье линейные операторы в исходном пространстве, инвариантные относительно сдвига, переходят в пространстве образов в операторы умножения (при некоторых условиях). В частности, свёртка функций $f$ и $g$ переходит в произведение функций $Ff$ и $Fg$:

$$F(f*g)=Ff \cdot Fg,$$дифференцирование порождает умножение на независимую переменную:

$$F(D^{\alpha} f)=(i x)^{\alpha} Ff.$$В пространствах $L_p(\mathbb{R}^{n})$, $1\leqslant p \leqslant 2$, оператор $F$ определен формулой $(1)$ на множестве $D_{F}=L_{1}\cap L_{p}(\mathbb{R}^{n})$ и является ограниченным оператором из $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$ в $L_{q}(\mathbb{R}^{n})$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$:

$$\displaystyle\left\{(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^{n}}|(Ff)(x)|^{q}\,dx\right\}^{1/q} \leqslant \left\{(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x)|^p\,dx\right\}^{1/p}$$(см. Неравенства Хаусдорфа – Юнга). По непрерывности $F$ допускает продолжение на все пространство $L_{p}(\mathbb{R}^n)$, которое (для $1<p \leqslant 2$) даётся формулой

$$\displaystyle(Ff)(x)=\lim _{R\rightarrow\infty}^{q}(2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi|<R} f(\xi) e^{-i\xi x}\,d\xi=\tilde{f}(x),$$где сходимость понимается по норме пространства $L_{q}(\mathbb{R}^{n})$. Если $p\neq2$, образ пространства $L_{p}$ под действием оператора $F$ не совпадает с $L_{q}$, т. е. вложение $FL_{p}\subset L_{q}$ строгое при $1\leqslant p<2$ (случай $p=2$ см. в статье Формула Планшереля). Обратный оператор $F^{-1}$ определен на $FL_p$ формулой

$$\displaystyle(F^{-1}\tilde{f})(x)=\lim_{R\rightarrow \infty}^p(2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi|<R}\tilde{f}(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi, \quad1<p \leqslant 2.$$Задача о распространении преобразования Фурье на возможно широкий класс функциӥ постоянно возникает в анализе и его приложениях. См., например, Преобразование Фурье обобщённой функции.