Спектра́льный ра́диус элемента банаховой алгебры, радиус $\rho$ наименьшего круга на плоскости, содержащего спектр этого элемента. Спектральный радиус элемента $a$ связан с нормами его степеней формулой

$$\rho(a)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|a^n\right\|^{1 / n}=\inf \left\|a^n\right\|^{1/n},$$из которой следует, в частности, что $\rho(a) \leqslant\|a\|$. Спектральный радиус ограниченного оператора в банаховом пространстве – это его спектральный радиус как элемента банаховой алгебры всех операторов. В гильбертовом пространстве спектральный радиус оператора равен точной нижней грани норм подобных ему операторов (Халмош. 1970):

$$\rho(A)=\inf_X\left\|X A X^{-1}\right\|.$$Если оператор нормален, то $\rho(A)=\|A\|$.

Спектральный радиус – полунепрерывная сверху (но, вообще говоря, не непрерывная) функция элемента банаховой алгебры. Доказана (Vesentini. 1968) субгармоничность спектрального радиуса [это означает, что если $z \rightarrow h(z)$ – голоморфное отображение некоторой области $D \subset \mathbb{C}$ в банахову алгебру $\mathfrak A,$ то $z \rightarrow \rho(h(z))$ – субгармоническая функция].