Абсолю́тно сходя́щийся ряд, ряд

$$\tag{1}\sum_{n=1}^\infty u_n$$с (вообще говоря) комплексными членами, для которого сходится ряд

$$\tag{2}\sum_{n=1}^\infty|u_n|.$$Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого $\varepsilon>0$ существовал такой номер $n_\varepsilon$, что для всех номеров $n>n_\varepsilon$ и всех целых $p\geqslant 0$ выполнялось неравенство

$$\sum_{k=n}^{n+p}|u_k|<\varepsilon.$$Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{i^n}{n^2}$$абсолютно сходится ($i=\sqrt{-1}$), а ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$$сходится, но не абсолютно. Пусть

$$\tag{3}\sum_{m=1}^\infty u_m^*$$– ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная сходимость ряда (3), и ряд (З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды

$$\sum_{n=1}^\infty u_n\quad\text{и}\quad\sum_{n=1}^\infty v_n$$абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация

$$\sum_{n=1}^\infty\lambda u_n+\mu v_n$$также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений $u_mv_n$ членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды

$$\tag{4}\sum_{(n_1,n_2,\ldots,n_k)}u_{n_1n_2\ldots n_k}.$$При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он сходится, например, как в смысле сферических частных сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма в обоих случаях оказывается одной и той же. Если кратный ряд (4) абсолютно сходится, то повторный ряд

$$\tag{5}\sum_{n_k=1}^\infty\ldots\sum_{n_2=1}^\infty\sum_{n_1=1}^\infty u_{n_1n_2\ldots n_k}$$абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам $n_1,n_2,\ldots,n_k$, причём суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).

Если члены ряда (1) суть элементы некоторого банахова пространства с нормой элементов $\Vert\cdot\Vert$, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\Vert u_n\Vert.$$На случай абсолютно сходящегося ряда элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности абсолютно сходящийся ряд элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие абсолютно сходящегося ряда переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.