Интегра́л Ри́мана, обобщение понятия интеграла Коши на некоторый класс разрывных функций, введённое Б. Риманом (B. Riemann, 1853). Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке $[a,b]$ и $$\begin{gathered}a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{i-1}<x_{i}<\ldots<x_{n}=b,\\ i=1,2, \ldots, n, \quad x_{i}-x_{i-1}=\Delta x_{i}. \end{gathered}$$Сумма вида $$\sigma=f\left(\xi_{1}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right) +\ldots+f\left(\xi_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+\ldots +f\left(\xi_{n}\right)\left(x_{n}-x_{n-1}\right),\tag{1}$$где $x_{i-1} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i}$, называется интегральной суммой, отвечающей данному разбиению отрезка $[a,b]$ точками $x_{i}$ и выбору точек $\xi_{i}$. Число $I$ называется пределом интегральных сумм (1) при $\max _{i} \Delta x_{i} \rightarrow 0$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что при $\max _{i} \Delta x_{i}<\delta$ справедливо неравенство $|\sigma-I|<\varepsilon$. Если существует конечный предел интегральных сумм при $\max_i \Delta x_{i} \rightarrow 0$, то функцию $f(x)$ называют интегрируемой в смысле Римана на отрезке$[a,b]$ при $a<b$, а указанный предел – определённым интегралом Римана от функции $f(x)$ по отрезку $[a,b]$ и обозначают $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx.\tag{2}$$При a=b, по определению, полагают $$\int_{a}^{a} f(x)\,d x=0,$$а при $a>b$ определяют интеграл (2) с помощью равенства$$\int_{a}^{b} f(x)\,d x=-\int_{b}^{a} f(x)\,d x.$$интегрируемости $f(x)$ на $[a,b]$ в смысле Римана являются ограниченность $f(x)$ на этом отрезке и равенство нулю меры Лебега множества всех точек разрыва $f(x)$, содержащихся на $[a,b]$.

Свойства интеграла Римана. 1. Всякая интегрируемая по Риману на отрезке $[a,b]$ функция $f(x)$ ограничена на этом отрезке (обратное неверно: примером ограниченной и неинтегрируемой на $[a,b]$ функции служит функция Дирихле).

2. Линейное свойство: для любых постоянных $\alpha$ и $\beta$ из интегрируемости на $[a,b]$ каждой из функций $f(x)$ и $g(x)$ следуют интегрируемость на этом отрезке функции $\alpha f(x)+\beta g(x)$ и равенство $$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,d x=\alpha \int_{a}^{b} f(x)\,d x+\beta \int_{a}^{b} g(x)\,d x.$$3. Из интегрируемости на отрезке $[a,b]$ каждой из функций $f(x)$ и $g(x)$ следует интегрируемость на этом отрезке произведения $f(x)g(x)$.

4. Аддитивность: из интегрируемости функции $f(x)$ на каждом из отрезков $[a,c]$ и $[c,b]$ следуют интегрируемость $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ и равенство $$\int_{a}^{b} f(x)\,d x=\int_{a}^{c} f(x)\,d x+\int_{c}^{b} f(x)\,d x.$$5. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a, b]$ и если $f(x) \geqslant g(x)$ всюду на этом отрезке, то $$\int_{a}^{b} f(x)\,d x \geqslant \int_{a}^{b} g(x)\,d x.$$6. Из интегрируемости на $[a, b]$ функции $f(x)$ следуют интегрируемость на этом отрезке функции $|f(x)|$ и справедливость оценки $$\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|\,d x.$$7. Формула среднего значения: если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a,b],$ функция $g(x)$ неотрицательна или неположительна всюду на этом отрезке, а $M$ и $m$ – точные верхняя и нижняя грани $f(x)$ на $[a,b]$, то найдется число $\mu$ из отрезка $m \leqslant \mu \leqslant M$ такое, что справедлива формула $$\int_{a}^{b} f(x) g(x)\,d x=\mu \int_{a}^{b} g(x)\,d x.$$Если, кроме того, функция $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то на этом отрезке найдется точка $\xi$ такая, что в формуле (3) $\mu=f(\xi)$.

8. Вторая формула среднего значения (формула Бонне): если функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$, а функция $g(x)$ монотонна на этом отрезке, то найдется точка $\xi$ на $[a,b]$ такая, что справедлива формула $$\int_{a}^{b} f(x) g(x)\,d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x)\,d x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x)\,d x.$$