Почти́ периоди́ческая фу́нкция, функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных (почти периодов) приближённо повторяются. Точнее, непрерывная функция $f(x)$, определённая для всех действительных значений $x$, называется почти периодической, если для каждого $ε>0$ можно указать такое $l=l(ε)$, что в каждом интервале действительной оси длины $l$ найдётся хотя бы одно число $τ=τ(ε)$, для которого при любом $x$ выполняется неравенство $|f(x+τ)-f(x)|\lt ε$. Числа τ называются почти периодами функции $f(x)$. Периодические функции суть частные случаи почти периодических функций; простейшие примеры почти периодических функций, не являющихся периодическими, получаются в результате сложения периодических функций с несравнимыми периодами, например, $\cos x+\cos\sqrt{2x}$ есть почти периодическая функция.

Некоторые важные свойства почти периодических функций:

1. Почти периодическая функция ограничена и равномерно непрерывна на всей действительной оси.

2. Сумма и произведение конечного числа почти периодических функций также являются почти периодической функцией.

3. Предел равномерно сходящейся последовательности почти периодических функций также есть почти периодическая функция.

4. Для каждой почти периодической функции существует среднее значение на всей действительной оси

$$M\{f\} = \lim_{T\rightarrow\infty}\int\limits_{-T}^{T}f(x)dx.$$5. Каждой почти периодической функции можно сопоставить её ряд Фурье

$$f(x)~\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{iλ_nx},$$причём $λ_1,λ_2,\ldots$ может быть любой последовательностью отличных друг от друга действительных чисел и

$$A_n = M\{f(x)e^{-iλ_nx}\}.$$6. Для каждой почти периодической функции справедливо равенство Парсеваля

$$M\{\left | f \right | ^2\} = \sum_{n=1}^{\infty} \left |A_n \right |^2.$$7. Справедлива теорема единственности: если $f(x)$ – почти периодическая функция и для всех действительных $λ$

$$M\left\{ f(x)e^{-iλx} \right\}=0,$$то $f(x)≡0$; иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет почти периодическую функцию.

8. Справедлива теорема аппроксимации: если $f(x)$ – почти периодическая функция, то для каждого $ε>0$ можно указать такой конечный тригонометрический полином

$$P_ε(x)=\sum\limits^N_{k=1} b_ke^{-iμ_kx},$$где $μ_k$ – действительные числа, что для всех значений $x$ выполняется неравенство $\left | f(x)-P_ε(x) \right | \lt ε$; обратно, каждая функция $f(x)$, обладающая этим свойством, является почти периодической функцией.

Первое построение теории почти периодических функций было дано Х. Бором (1923). Ещё ранее (1893) частный случай почти периодических функций – т. н. квазипериодические функции, изучал латвийский математик П. Боль.