Термины

Интеграл Лебега

Интегра́л Лебе́га, одно из наиболее важных обобщений понятия . Пусть (X,μ)(X,\mu) – пространство с неотрицательной полной счётно-аддитивной μ\mu, причём μX<+\mu X< +\infty. Простой функцией называется g:XR1g:X\rightarrow\mathbb{R}^{1}, принимающая не более счётного множества значений: g(x)=yn g(x)=y_{n}, ynyky_{n}\neq y_{k} при nkn\neq k, если xXnx\in X_{n}, и n=1Xn=X\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=X. Простая функция gg называется суммируемой, если ряд n=1ynμXn\sum_{n=1}^{\infty} y_{n} \mu X_{n} сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега Xgdμ\int_{X}g\, d\mu.

Функция f:XR1f:X\rightarrow\mathbb{R}^{1} суммируема на XX, fL(X,μ)f\in L(X,\mu), если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к ff последовательность простых суммируемых функций gng_{n} и предел

limnXgndμ=I\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{X} g_{n}\, d \mu=Iконечен. Число II есть интеграл Лебега Xfdμ\int_{X} f\,d \mu.

Определение корректно: предел II существует и не зависит от выбора последовательности gn.g_{n}. Если fL(X,μ)f\in L(X,\mu), то ff измеримая почти всюду конечная функция на XX. Интеграл Лебега есть линейный неотрицательный на L(X,μ)L(X,\mu), обладающий следующими свойствами:

1) если f(x)L(X,μ)f(x)\in L(X,\mu) и μ{xXf(x)h(x)}=0,\mu\{x \in X \mid f(x) \neq h(x)\}=0,то h(x)L(X,μ)h(x)\in L(X,\mu) иXfdμ=Xhdμ;\int_{X} f\,d\mu=\int_{X} h\,d\mu;2) если fL(X,μ)f\in L(X,\mu), то fL(X,μ)|f|\in L(X,\mu) и

XfdμXfdμ;\left|\int_{X} f\,d \mu\right| \leqslant \int_{X}|f|\,d \mu;3) если fL(X,μ)f\in L(X,\mu), hf|h|\leqslant f и hh измерима, то hL(X,μ)h\in L(X,\mu) иXhdμXfdμ;\left|\int_{X} h\,d\mu\right| \leqslant \int_{X} f\,d \mu;4) если mfMm \leqslant f \leqslant M и ff измерима, то fL(X,μ)f\in L(X,\mu) иmμXXfdμMμX.m \mu X \leqslant \int_{X} f\,d \mu \leqslant M \mu X .В случае, когда μX=+\mu X=+\infty и X=n=1XnX=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}, μXn<+\mu X_{n}<+\infty, интеграл Лебега Xfdμ\int_{X} f\,d \mu определяется какXfdμ=limnEnfdμ\int_{X} f\,d \mu=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E_{n}} f\,d \muпри условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности EnE_{n}, такой, что μEn<+\mu E_{n}<+\infty, EnEn+1E_{n} \subset E_{n+1}, n=1En=X\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}=X. В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается.

Для перехода к пределу под знаком интеграла Лебега справедлива .

Если AA есть измеримое подмножество в XX, то интеграл Лебега Afdμ\int_{A} f\,d \mu определяется или, как указано выше, заменой XX на AA, или какAfdμ=XfχAdμ,\int_{A} f\,d \mu=\int_{X} f \chi_{A}\,d \mu,где χA\chi_{A} характеристическая функция множества AA; эти определения эквивалентны. Если fL(A,μ)f\in L(A,\mu), то fL(A,μ)f\in L\left(A^{\prime},\mu\right) для любого измеримого множества AAA^{\prime} \subset A. Если A=n=1AnA=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}, множество AnA_{n} измеримо для каждого nn, причём AnAk=A_{n} \cap A_{k}=\varnothing для nkn \neq k и fL(A,μ)f\in L(A,\mu), тоAfdμ=n=1Anfdμ.\int_{A} f\,d \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_{n}} f\,d \mu.Обратно, если при тех же условиях на AnA_{n} для каждого nn верно, что fL(An,μ)f\in L\left(A_{n},\mu\right) иn=1Anfdμ<+,\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_{n}}|f|\,d \mu<+\infty,то fL(A,μ)f\in L(A,\mu) и выполнено предыдущее равенство (σ\sigma-аддитивность интеграла Лебега).

Функция множества AXA \subset XF(A)=AfdμF(A)=\int_{A} f\,d\muабсолютно непрерывна относительно μ\mu; если f0f\geqslant 0, то F(A)F(A) есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно μ\mu мера. Обратное утверждение представляет собой .

Для функций f:RnR1f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1} название «интеграл Лебега» применяется к соответствующему функционалу, если мера μ\mu есть ; при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(X)L(X), а интеграл Xf(x)dx\int_{X} f(x)\,dx. Для других мер этот функционал называется .

Если f ⁣:R1R1f\colon \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}, fL[a,b]f\in L[a,b] и x:[α,β][a,b]x:[\alpha, \beta] \rightarrow[a,b] неубывающая абсолютно непрерывная функция, тоabf(x)dx=αβf(x(t))x(t)dt.\int_{a}^{b} f(x)\,d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t)) x^{\prime}(t)\,dt.Если f:R1R1f:\mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}, fL[a,b]f\in L[a,b] и g:[a,b]R1g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{1} монотонна на [a,b][a,b], то fgL[a,b]fg\in L[a,b] и существует точка ξ[a,b]\xi\in[a,b] такая, чтоabf(x)g(x)dx=g(a)aξf(x)dx+g(b)ξbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x)\,d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x)\,d x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x)\,d x(вторая теорема o среднем).

В 1902 г. (1934) дал определение интеграла для XR1X\subset\mathbb{R}^{1} и меры μ\mu, являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры EE измеримую неотрицательную функцию f:ER1f:E \rightarrow R^{\mathbf{1}}, и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к ff. Интеграл Лебега является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил (1951), свойство 2) так называемая абсолютная интегрируемость выделяет интеграл Лебега для f:R1R1f:\mathbb{R}^{1}\rightarrow\mathbb{R}^{1} из всевозможных обобщённых интегралов.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Интегралы
  • Измеримость
  • Сигма-аддитивность
  • Мера