Интегра́л Лебе́га, одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть $(X,\mu)$ – пространство с неотрицательной полной счётно-аддитивной мерой $\mu$, причём $\mu X< +\infty$. Простой функцией называется измеримая функция $g:X\rightarrow\mathbb{R}^{1}$, принимающая не более счётного множества значений: $g(x)=y_{n}$, $y_{n}\neq y_{k}$ при $n\neq k$, если $x\in X_{n}$, и $\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=X$. Простая функция $g$ называется суммируемой, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty} y_{n} \mu X_{n}$ сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега $\int_{X}g\, d\mu$.

Функция $f:X\rightarrow\mathbb{R}^{1}$ суммируема на $X$, $f\in L(X,\mu)$, если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к $f$ последовательность простых суммируемых функций $g_{n}$ и предел

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{X} g_{n}\, d \mu=I$$конечен. Число $I$ есть интеграл Лебега $\int_{X} f\,d \mu$.

Определение корректно: предел $I$ существует и не зависит от выбора последовательности $g_{n}.$ Если $f\in L(X,\mu)$, то $f$ – измеримая почти всюду конечная функция на $X$. Интеграл Лебега есть линейный неотрицательный функционал на $L(X,\mu)$, обладающий следующими свойствами:

1) если $f(x)\in L(X,\mu)$ и $$\mu\{x \in X \mid f(x) \neq h(x)\}=0,$$то $h(x)\in L(X,\mu)$ и$$\int_{X} f\,d\mu=\int_{X} h\,d\mu;$$2) если $f\in L(X,\mu)$, то $|f|\in L(X,\mu)$ и

$$\left|\int_{X} f\,d \mu\right| \leqslant \int_{X}|f|\,d \mu;$$3) если $f\in L(X,\mu)$, $|h|\leqslant f$ и $h$ измерима, то $h\in L(X,\mu)$ и$$\left|\int_{X} h\,d\mu\right| \leqslant \int_{X} f\,d \mu;$$4) если $m \leqslant f \leqslant M$ и $f$ измерима, то $f\in L(X,\mu)$ и$$m \mu X \leqslant \int_{X} f\,d \mu \leqslant M \mu X .$$В случае, когда $\mu X=+\infty$ и $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}$, $\mu X_{n}<+\infty$, интеграл Лебега $\int_{X} f\,d \mu$ определяется как$$\int_{X} f\,d \mu=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E_{n}} f\,d \mu$$при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности $E_{n}$, такой, что $\mu E_{n}<+\infty$, $E_{n} \subset E_{n+1}$, $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}=X$. В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается.

Для перехода к пределу под знаком интеграла Лебега справедлива теорема Лебега.

Если $A$ есть измеримое подмножество в $X$, то интеграл Лебега $\int_{A} f\,d \mu$ определяется или, как указано выше, заменой $X$ на $A$, или как$$\int_{A} f\,d \mu=\int_{X} f \chi_{A}\,d \mu,$$где $\chi_{A}$ – характеристическая функция множества $A$; эти определения эквивалентны. Если $f\in L(A,\mu)$, то $f\in L\left(A^{\prime},\mu\right)$ для любого измеримого множества $A^{\prime} \subset A$. Если $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$, множество $A_{n}$ измеримо для каждого $n$, причём $A_{n} \cap A_{k}=\varnothing$ для $n \neq k$ и $f\in L(A,\mu)$, то$$\int_{A} f\,d \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_{n}} f\,d \mu.$$Обратно, если при тех же условиях на $A_{n}$ для каждого $n$ верно, что $f\in L\left(A_{n},\mu\right)$ и$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_{n}}|f|\,d \mu<+\infty,$$то $f\in L(A,\mu)$ и выполнено предыдущее равенство ($\sigma$-аддитивность интеграла Лебега).

Функция множества $A \subset X$$$F(A)=\int_{A} f\,d\mu$$абсолютно непрерывна относительно $\mu$; если $f\geqslant 0$, то $F(A)$ есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно $\mu$ мера. Обратное утверждение представляет собой теорему Радона – Никодима.

Для функций $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ название «интеграл Лебега» применяется к соответствующему функционалу, если мера $\mu$ есть мера Лебега; при этом множество суммируемых функций обозначается просто $L(X)$, а интеграл – $\int_{X} f(x)\,dx$. Для других мер этот функционал называется интегралом Лебега – Стилтьеса.

Если $f\colon \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$, $f\in L[a,b]$ и $x:[\alpha, \beta] \rightarrow[a,b]$ – неубывающая абсолютно непрерывная функция, то$$\int_{a}^{b} f(x)\,d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t)) x^{\prime}(t)\,dt.$$Если $f:\mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$, $f\in L[a,b]$ и $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ монотонна на $[a,b]$, то $fg\in L[a,b]$ и существует точка $\xi\in[a,b]$ такая, что$$\int_{a}^{b} f(x) g(x)\,d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x)\,d x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x)\,d x$$(вторая теорема o среднем).

В 1902 г. A. Лебег (1934) дал определение интеграла для $X\subset\mathbb{R}^{1}$ и меры $\mu$, являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры $E$ измеримую неотрицательную функцию $f:E \rightarrow R^{\mathbf{1}}$, и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к $f$. Интеграл Лебега является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин (1951), свойство 2) – так называемая абсолютная интегрируемость – выделяет интеграл Лебега для $f:\mathbb{R}^{1}\rightarrow\mathbb{R}^{1}$ из всевозможных обобщённых интегралов.