Интегра́л Фурье́, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция $f(x)$ интегрируема на каждом конечном отрезке и интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx$ сходится, то

$$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}du \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos\,u(x-t)\,dt.\tag{1}$$Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позднее другими математиками. Формулу $(1)$ можно представить в виде

$$f(x)=\int_{0}^{\infty}[a(u)\cos\,ux+b(u)\sin\,ux]\,du,\tag{2}$$где

$$\begin{aligned}a(u) &=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos\,ut\,dt,\\ b(u) &=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin\,ut\,dt. \end{aligned}$$Формулу $(2)$ можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период $2T$, когда $T\rightarrow\infty$ , при этом $a(u)$ и $b(u)$ аналогичны коэффициентам Фурье функции $f(x)$.

Используя комплексные числа, можно заменить формулу $(1)$ формулой

$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}du\int_{-\infty}^{\infty}e^{iu(x-t) f(t)}\,dt.$$Формулу $(1)$ можно преобразовать также к виду

$$f(x)=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{\sin\lambda(x-t)}{x-t}\,dt\tag{3}$$(простой интеграл Фурье).

Если интегралы в формулах$(2)$, $(3)$ расходятся, то во многих случаях их можно просуммировать к $f(x)$ при помощи того или иного метода суммирования (см. Суммирование рядов). При решении многих задач используются формулы интеграла Фурье для функций двух и большего числа переменных.