Пряма́я су́мма, конструкция, широко используемая в теориях таких математических структур, категории которых близки к абелевым категориям; в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно называется дискретным прямым произведением. Пусть $\mathfrak{U}$ – некоторый класс однотипных алгебраических систем, содержащих одноэлементную (нулевую) подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым произведением систем $X_i$, $i \in I$, из класса $\mathfrak{U}$ называется подсистема прямого произведения $X=\prod_{i \in I} X_i$, состоящая из таких функций $f: I \rightarrow X$, все значения которых, кроме конечного числа, принадлежат соответствующим нулевым подсистемам. Прямая сумма обозначается одним из следующих способов:

$$\prod_{i \in I}^{\otimes} X_i, \quad \prod_{i \in I}^{\oplus} X_i, \quad \sum_{i \in I}^* X_i.$$Для конечного числа слагаемых используются также обозначения
$$X_1 \dot{+}\ldots\dot{+} X_n,\quad X_1 \oplus \ldots \oplus X_n.$$Непосредственно из определений следует совпадение прямой суммы и прямого произведения в случае конечности числа слагаемых.

Для каждого слагаемого прямой суммы $X=\prod_{i \in I}^{\oplus} X_i$ существует каноническое вложение $q_i: X_i \rightarrow X$, которое элементу $x \in X_i$ сопоставляет функцию $q_i(x): I \rightarrow X$, принимающую значение $x$ при значении аргумента $i$ и равную нулю в остальных случаях. Следовательно, можно считать, что прямая сумма содержит свои слагаемые. В случае $\Omega$-групп (в частности, в случае групп, абелевых групп, векторных пространств, колец) можно дать «внутреннее» определение прямой суммы. $\Omega$-группа $G$ является прямой суммой своих $\Omega$-подгрупп $G_i,$ $i \in I$, если выполнены следующие условия: a) $G$ порождается $G_i,$ $i \in I$; б) каждая $\Omega$-подгруппа $G_i$ является идеалом в $G$; в) пересечение $G_i$ с $\Omega$-подгруппой, порождённой остальными идеалами, является нулевой подгруппой для каждого $i$.

Всякое векторное пространство есть прямая сумма одномерных подпространств. Всякая свободная абелева группа является прямой суммой бесконечных циклических групп. Всякая конечная абелева группа есть прямая сумма примарных циклических групп. Всякое ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минимальности для идеалов, есть прямая сумма конечного числа полных колец линейных преобразований подходящих конечномерных векторных пространств.

В теории групп, решёток и категорий глубокое развитие получила проблема изоморфизма прямых разложений, начало которой было положено теоремой Ремака – Шмидта o центральном изоморфизме прямых разложений групп, обладающих главным рядом (см. в статье Теорема Крулля – Ремака – Шмидта).

В теории категорий иногда прямой суммой называется понятие, двойственное понятию произведения, то есть копроизведение объектов категории.