Фу́нктор, отображение одной категории в другую, согласованное со структурой категории. Точнее, одноместным ковариантным функтором из категории $\mathfrak K$ в категорию $\mathfrak S$, или, короче, функтором из $\mathfrak K$ в $\mathfrak S$, называется пара отображений $({\rm Ob}\, \mathfrak K \to {\rm Ob}\, \mathfrak S, {\rm Mor}\,\mathfrak K\to {\rm Mor}\, \mathfrak S)$, обозначаемых обычно одной и той же буквой, например $F$ ($F:\mathfrak K\to \mathfrak S$), подчинённых условиям:

1) $F(1_A) = 1_{F(A)}$ для каждого $A\in {\rm Ob}\, \mathfrak K$;

2) $F(\alpha \beta) = F(\alpha)\cdot F(\beta)$ для любых морфизмов $\alpha\in H_{\mathfrak K} (A,B)$, $\beta\in H_{\mathfrak K} (B,C)$.

Функтор из категории $\mathfrak K^*$, двойственной категории $\mathfrak K$, в категорию $\mathfrak S$ называется одноместным контравариантным функтором из $\mathfrak K$ в $\mathfrak S$. Таким образом, для контравариантного функтора $F:\mathfrak K\to \mathfrak S$ по-прежнему должно выполняться условие 1, а вместо условия 2 – условие

2*) $F(\alpha\beta) = F(\beta)\cdot F(\alpha)$ для любых морфизмов $\alpha\in H_{\mathfrak K} (A,B)$, $\beta\in H_{\mathfrak K} (B,C)$.

$n$-местным функтором из категорий $\mathfrak K_1,\mathfrak K_2,\dots,\mathfrak K_n$ в категорию $\mathfrak S$, ковариантным по аргументам $1<i_1<i_2<\dots<i_k<n$ и контравариантным по остальным аргументам, называется функтор из декартова произведения категорий$$\prod_{i=1}^n \tilde{\mathfrak K}_i$$в категорию $\mathfrak S$, где $\mathfrak K_i = \mathfrak K_i$ при $i = i_1,\dots,i_k$ и $\mathfrak K_i = \mathfrak K_i^*$ при остальных $i$. Двуместные функторы, ковариантные по обоим аргументам, называются бифункторами.

Примеры функторов. 1) Тождественное отображение произвольной категории $\mathfrak K$ в себя есть одноместный ковариантный функтор, который называется тождественным функтором категории и обозначается ${\rm Id}_{\mathfrak K}$. 2) Пусть $\mathfrak K$ – произвольная категория, $\mathfrak S$ – категория множеств, $A$ – фиксированный объект из $\mathfrak K$. Сопоставление каждому $X\in{\rm Ob}\, \mathfrak K$ множества $H^A(X)= H_{\mathfrak K} (A,X)$ и каждому морфизму $\alpha: X\to Y$ отображения $H^A(\alpha): H^A(X)\to H^A(Y)$, где $\gamma H^A(\alpha) = \gamma\alpha$ для каждого $\gamma\in H^A(X)$, является функтором из $\mathfrak K$ в $\mathfrak S$. Этот функтор называется основным ковариантным функтором из $\mathfrak K$ в $\mathfrak S$ с представляющим объектом $A$. Аналогично, сопоставляя объекту $X$ множество $H_A(X) = H_{\mathfrak K}(X, A)$ и морфизму $\alpha: Y\to X$ отображение $H_A(\alpha): H_A(X) \to H_A(Y)$, где $\gamma H_A(\alpha) =\alpha\gamma$, строится основной контравариантный функтор из $\mathfrak K$ в $\mathfrak S$ с представляющим объектом $A$. Эти функторы обозначаются $H^A$ и $H_A$ соответственно. Если $\mathfrak K$ – категория векторных пространств над полем $K$, то функтор $H_K$ задаёт переход от пространства $E$ к сопряжённому пространству линейных функционалов $E^*$. В категории топологических абелевых групп функтор $H_Q$, где $Q$ – факторгруппа группы действительных чисел по подгруппе целых чисел, сопоставляет каждой группе её группу характеров. 3) Сопоставление каждой паре объектов $X$, $Y$ произвольной категории множества $H(X, Y)$, а каждой паре морфизмов $\alpha: X'\to X$, $\beta: Y\to Y'$ – отображения $H(\alpha, \beta): H(X,Y)\to H(X', Y')$, определяемого равенством $\gamma H(\alpha, \beta) = \alpha\gamma\beta$ для любого $y\in H(X,Y)$, является двуместным функтором в категорию $\mathfrak S$, контравариантным по первому аргументу и ковариантным по второму.

В любой категории с конечными произведениями произведение можно рассматривать как $n$-местный функтор, ковариантный по всем аргументам, при любом натуральном $n$. Как правило, конструкции, которые определяются для любого объекта категории или для любой последовательности объектов фиксированной длины независимо от индивидуальных свойств объектов, являются функторами. Таковы, например, конструкция свободных алгебр некоторого многообразия универсальных алгебр, которые единообразно сопоставляются каждому объекту категории множеств, конструкция фундаментальной группы топологического пространства, конструкции групп гомологий и когомологий различных размерностей и т. д.

Любой функтор $F: \mathfrak K\to \mathfrak S$ определяет отображение каждого множества $H_{\mathfrak K}(A, B)$ в множество $H_{\mathfrak S}(F(A),F(B))$, сопоставляя морфизму $\alpha: A\to B$ морфизм $F(\alpha): F(A)\to F(\beta)$. Функтор $F$ называется унивалентным, если все указанные отображения инъективны, и полным, если все эти отображения сюръективны. Для всякой малой категории $\mathfrak D$ сопоставление $D\in {\rm Ob}\, \mathfrak D\to H_D$ можно продолжить до полного унивалентного функтора $J$ из $\mathfrak D$ в категорию $F(\mathfrak D^*,\mathfrak S)$ диаграмм со схемой $\mathfrak D$ над категорией множеств $\mathfrak S$.