Те́нзорное произведе́ние, 1) тензорное произведение унитарных модулей $V_1$ и $V_2$ над коммутативно-ассоциативным кольцом $A$ с единицей – $A$-модуль $V_1 \otimes_A V_2$ вместе с билинейным отображением

$$\left(x_1, x_2\right) \longmapsto x_1 \otimes x_2 \in V_1 \otimes_A V_2,$$универсальным в следующем смысле: для любого билинейного отображения $\beta: V_1 \times V_2 \rightarrow W$, где $W$ – произвольный $A$-модуль, существует единственное линейное отображение $b: V_1 \otimes_A V_2 \rightarrow W$ такое, что

$$\boldsymbol{\beta}\left(x_1, x_2\right)=b\left(x_1 \otimes x_2\right), \quad x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 .$$Тензорное произведение определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Оно всегда существует и может быть построено как фактормодуль свободного $A$-модуля $F$, порождённого множеством $V_1 \times V_2$, по подмодулю $R$, порождённому элементами вида

$$\begin{gathered} \left(x_1+y, x_2\right)-\left(x_1, x_2\right)-\left(y, x_2\right), \\ \left(x_1, x_2+z\right)-\left(x_1, x_2\right)-\left(x_1, z\right), \\ \left(c x_1, x_2\right)-c\left(x_1, x_2\right), \\ \left(x_1, c x_2\right)-c\left(x_1, x_2\right), \\ x_1, y \in V_1, x_2, z \in V_2, c \in A ; \end{gathered}$$при этом $x_1 \otimes x_2=\left(x_1, x_2\right)+R$. Если отказаться от коммутативности кольца $A,$ то близкая конструкция позволяет сопоставить правому $A$-модулю $V_1$ и левому $A$-модулю $V_2$ абелеву группу $V_1 \otimes_A V_2$, также называемую тензорным произведением этих модулей (Бурбаки. 1962). В дальнейшем $A$ предполагается коммутативным.

Tензорное произведение обладает следующими свойствами:

$$\begin{aligned} A \otimes V^i & \cong V, \\ V_1 \otimes_A V_2 & \cong V_2 \otimes_A V_1, \\ \left(V_1 \otimes_A V_2\right) \otimes_A V_3 & \cong V_1 \otimes_A\left(V_2 \otimes_A V_3\right), \\ \left(\oplus_{i \in I} V_i\right) \otimes_A W & \cong\left(\oplus_{i \in I}\left(V_i \otimes_A W\right)\right. \end{aligned}$$для любых $A$-модулей $V$, $V_i$, $W$.

Если $\left(x_i\right)_{i \in I}$ и $\left(y_j\right)_{j \in J}$ – базисы модулей $V_1$ и $V_2$, то $\left(x_i \otimes y_j\right)_{(i, j) \in I \times J}$ – базис модуля $V_1 \otimes_A V_2$. В частности,

$$\operatorname{dim}\left(V_1 \otimes_A V_2\right)=\operatorname{dim} V_1 \cdot \operatorname{dim} V_2,$$если $V_i$ – свободные конечно порождённые модули (например, конечномерные векторные пространства над полем $A$). Тензорное произведение циклических $A$-модулей вычисляется по формуле

$$(A / I) \otimes_A(A / J) \cong A /(I+J),$$где $I$, $J$ – идеалы в $A$.

Определяется также тензорное произведение любого (не обязательно конечного) семейства $A$-модулей. Тензорное произведение

$$\overset{p}{\otimes} V=\underbrace{V \otimes_A \cdots \otimes_A V}_{p \text { раз }}$$называется $p$-й тензорной степенью $A$-модуля $V$; его элементы – это контравариантные тензоры валентности $p$ на $V$.

Любым двум гомоморфизмам $A$-модулей $\alpha_i: V_i \rightarrow W_i$, $i=1,2$, сопоставляется их тензорное произведение $\alpha_1 \otimes \alpha_2$, являющееся гомоморфизмом $A$-модулей $V_1 \otimes_A V_2 \rightarrow W_1 \otimes_A W_2$ и определяемое формулой

$$\left(\alpha_1 \otimes \alpha_2\right)\left(x_1 \otimes x_2\right)=\alpha\left(x_1\right) \otimes \alpha_2\left(x_2\right), \quad x_i \in V_i .$$Эта операция также распространяется на любые семейства гомоморфизмов и обладает функторными свойствами (см. в статье Модуль). Она определяет гомоморфизм $A$-модулей

$$\operatorname{Hom}_A\left(V_1, W_1\right) \otimes_A \operatorname{Hom}_A\left(V_2, W_2\right) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A\left(V_1 \otimes V_2, W_1 \otimes W_2\right),$$который является изоморфизмом, если все $V_i$, $W_i$ свободны и конечно порождены.

2) Тензорное произведение алгебр $C_1$ и $C_2$ над коммутативно-ассоциативным кольцом $A$ с единицей – алгебра $C_1 \otimes_A C_2$ над $A$, которая получается, если ввести в тензорное произведение $A$-модулей $C_1 \otimes_A C_2$ умножение по формуле

$$\left(x_1 \otimes x_2\right)\left(y_1 \otimes y_2\right)=\left(x_1 y_1\right) \otimes\left(x_2 y_2\right), \quad x_i, y_i \in C_i .$$Определение распространяется на случай любого семейства сомножителей. Тензорное произведение $C_1 \otimes_A C_2$ ассоциативно, коммутативно или содержит единицу, если этим свойством обладают обе алгебры $C_i$. Если $C_1$ и $C_2$ – алгебры с единицами над полем $A$, то $\tilde{C}_1=C_1 \otimes 1$ и $\tilde{C}_2=C_2 \otimes 1$ – подалгебры в $C_1 \otimes_A C_2$, изоморфные $C_1$ и $C_2$ и поэлементно перестановочные. Обратно, пусть $C$ – алгебра c единицей над полем $A$, $C_1$, $C_2$ – её подалгебры, содержащие единицу и такие, что $x_1 x_2=x_2 x_1$ для любых $x_i \in C_i$. Тогда существует гомоморфизм $A$-алгебр $\varphi: C_1 \otimes{ }_A C_2 \rightarrow C$ такой, что $\varphi\left(x_1 \otimes x_2\right)=x_1 x_2$, $x_i \in C_i$. Для того чтобы $\varphi$ был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы в $C_1$ существовал базис над $A$, являющийся базисом правого $C_2$-модуля $C$.

3) Тензорное произведение представлений $\pi_1$ и $\pi_2$ группы $G$ в векторных пространствах $E_1$ и $E_2$ соответственно – представление $\pi_1 \otimes \pi_2$ группы $G$ в векторном пространстве $E_1 \otimes E_2$, однозначно определённое условием:

$$\left(\pi_1 \otimes \pi_2\right)\left(\xi_1 \otimes \xi_2\right)=\pi_1(g) \xi_1 \otimes \pi_2(g) \xi_2$$для всех $\xi_1 \in E_1$, $\xi_2 \in E_2$, $g \in G$. Если $\pi_1$ и $\pi_2$ – непрерывные унитарные представления топологической группы $G$ в гильбертовых пространствах $E_1$ и $E_2$ соответственно, то операторы $\left(\pi_1\otimes\pi_2\right)(g)$, $g \in G$, в векторном пространстве $E_1 \otimes E_2$ допускают однозначное продолжение по непрерывности до непрерывных линейных операторов $\left(\pi_1 \bar{\otimes}\pi_2\right)(g)$, $g \in G$, в гильбертовом пространстве $E_1\bar{\otimes} E_2$ [пополнении пространства $E_1 \otimes E_2$ относительно скалярного произведения, определяемого формулой $\left(\xi_1 \otimes \xi_2,\eta_1 \otimes \eta_2\right)=\left(\xi_1, \eta_1\right)\left(\xi_2, \eta_2\right)$] и отображение $\pi_1 \otimes \pi_2: g \rightarrow \left(\pi_1 \bar{\otimes} \pi_2\right) g$, $g \in G$, является непрерывным унитарным представлением группы $G$ в гильбертовом пространстве и $E_1\bar{\otimes} E_2$, называемым тензорным произведением унитарных представлений $\pi_1$ и $\pi_2$. Представления $\pi_1 \otimes \pi_2$ и $\pi_2 \otimes \pi_1$ эквивалентны (унитарны, если $\pi_1$ и $\pi_2$ унитарны). Операция тензорного произведения может быть определена и для непрерывных представлений топологических групп в топологических векторных пространствах общего вида.

4) Тензорное произведение векторных расслоений $E$ и $F$ над топологическим пространством $X$ – векторное расслоение $E \otimes F$ над $X$, слоем которого в точке $x \in X$ является тензорное произведение слоёв $E_x \otimes F_x$. Тензорное произведение можно определить как расслоение, функции перехода которого являются тензорным произведением функций перехода расслоений $E$ и $F$ в одном и том же тривиализирующем покрытии (см. Тензорное произведение матриц).