#Решётка (в математике)Решётка (в математике)Исследуйте Области знанийУ нас представлены тысячи статейТегРешётка (в математике)Решётка (в математике)Найденo 25 статейТерминыТермины Пополнение сечениямиПополне́ние сече́ниями (пополнение Мак-Нейла) частично упорядоченного множества , полная решётка , получаемая из множества следующим образом. Пусть (если обладало нулём) или получается внешним присоединением наименьшего элемента к (если не имело нуля). И пусть – упорядоченное отношением включения множество всех непустых подмножеств множества . Для любого пустьТермины Решётка подалгебр универсальной алгебрыРешётка пода́лгебр универса́льной а́лгебры , частично упорядоченное (отношением теоретико-множественного включения) множество всех подалгебр алгебры . Для любой алгебры решётка подалгебр является алгебраической и обратно, для любой алгебраической решётки существует алгебра такая, что (теорема Биркгофа – Фринка).Научные направления Теория решётокТео́рия решёток, раздел алгебры, в котором изучаются частично упорядоченные множества. Решёткой (структурой) называется частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств. Появление понятия «решётка» относится к середине 19 в. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 гг. Термин lattice, переведённый как «структура», был введён Дж. Биркгофом в 1933 г. Ныне в русскоязычной терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен словом «решётка». Как самостоятельный раздел алгебры эта теория сформировалась в 1930-х гг.Термины Представление ассоциативной алгебрыПредставле́ние ассоциати́вной а́лгебры размерности , гомоморфизм алгебры над полем в алгебру матриц , т. е. сопоставление каждому квадратной матрицы порядка , при котором где , . Обычно требуется также, чтобы единице алгебры соответствовала единичная матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра была конечномерной.Термины Пространство РиссаПростра́нство Ри́сса, вещественное частично упорядоченное векторное пространство , в котором: 1) структуры векторного пространства и упорядоченного множества согласованы, т. е. из и следует и из , , , следует ; 2) для любых двух элементов существует . В частности, существуют и любого конечного множества. В отечественной литературе пространство Рисса обычно называется -линеалами. Впервые такие пространства были введены Ф. Риссом.Термины Модуль над кольцомМо́дуль над кольцо́м, абелева группа с кольцом операторов. Модуль является обобщением (линейного) векторного пространства над полем для случая, когда заменяется некоторым кольцом.Термины РазбиениеРазбие́ние, 1) представление заданного множества в виде объединения системы множеств, не имеющих попарно общих точек; 2) система дизъюнктных подмножеств заданного множества, объединение которых есть всё множество; 3) локально конечное покрытие пространства, элементами которого являются замкнутые канонические множества с дизъюнктными открытыми ядрами.Термины ПолукольцоПолукольцо́, непустое множество с двумя ассоциативными бинарными операциями и , связанными дистрибутивными законами:иВ большинстве случаев дополнительно предполагается, что сложение коммутативно и что существует нуль , для которого при любом .Термины Идеал (в математике)Идеа́л, специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведёт свое происхождение от идеальных чисел.Термины Прямая суммаПряма́я су́мма, конструкция, широко используемая в теориях таких математических структур, категории которых близки к абелевым категориям; в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно называется дискретным прямым произведением. Пусть – некоторый класс однотипных алгебраических систем, содержащих одноэлементную (нулевую) подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым произведением систем , , из класса называется подсистема прямого произведения , состоящая из таких функций , все значения которых, кроме конечного числа, принадлежат соответствующим нулевым подсистемам. Прямая сумма обозначается одним из следующих способов: 123
