Ме́тоды сумми́рования, способы построения обобщённых сумм рядов, обобщённых пределов последовательностей, значений несобственных интегралов.

В математическом анализе возникает потребность обобщить понятие суммы ряда (предела последовательности, значения интеграла) на случай, когда в обычном смысле ряд (последовательность, интеграл) расходится. Такое обобщение задают обычно в виде некоторого правила или операции и называют методом суммирования.

1) Ряд Фурье непрерывной $2\pi$-периодической функции $f(x)$ может расходиться на бесконечном множестве точек $E\subset [0, 2\pi]$. Последовательность же $\{\sigma_n(x)\}$ средних арифметических первых $n$ частичных сумм этого ряда

$$\tag{1} \sigma_n(x)=\frac{s_0(x)+s_1(x)+\ldots+s_n(x)}{n+1}$$равномерно сходится на всей оси $Ox$ к функции $f(x)$. Если сумму ряда определить как

$$\lim_{n\to\infty}\sigma_n(x),$$то в этом смысле ряд Фурье $2\pi$-периодической непрерывной функции будет равномерно сходиться к $f(x)$ на всей оси $Ox$.

2) Ряд

$$\tag{2}\sum_{n=0}^\infty c_n,$$полученный в результате умножения двух рядов

$$\sum_{n=0}^\infty a_n\quad \text{и}\quad \sum_{n=0}^\infty b_n,$$сходящихся соответственно к $A$ и $B$, может оказаться расходящимся. Если сумму ряда (2) определить, как в примере 1), т. е. как предел последовательности средних арифметических первых $n$ частичных сумм, то в этом смысле произведение указанных рядов будет сходиться к сумме $C=AB$.

3) Степенной ряд

$$\tag{3}\sum_{n=0}^\infty z^n$$сходится для $|z|<1$ к сумме $1/(1-z)$ и расходится для $|z|\geqslant 1$. Если же сумму ряда (3) определить как

$$\lim_{x\to\infty}e^{-x}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}s_n,$$где $s_n$ – частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех $z$, удовлетворяющих условию $\mathop{\mathrm{Re}}z<1$, причём его суммой будет функция $1/(1-z)$ (см. Метод суммирования Бореля).

Важнейшими свойствами методов суммирования являются регулярность (см. Регулярные методы суммирования) и линейность (см. Линейный метод суммирования). Наиболее распространённые методы суммирования обладают этими свойствами. Многие из методов обладают также свойством транслятивности. Широкий класс методов суммирования составляют матричные методы суммирования и полунепрерывные методы суммирования. Эти методы являются линейными и для них установлены условия регулярности. К матричным методам суммирования, в частности, относятся метод суммирования Вороного, методы суммирования Чезаро. Подкласс матричных методов суммирования составляют методы, определённые конечнострочными матрицами (см. Конечнострочный метод суммирования) и, в частности, треугольными матрицами (см. Треугольный метод суммирования). Полунепрерывными методами суммирования являются метод суммирования Абеля, метод суммирования Бореля, метод суммирования Миттаг-Леффлера, метод суммирования Линделёфа, метод суммирования Рисса. Существуют методы суммирования, не относящиеся к указанным видам, например интегральный метод суммирования Бореля, методы суммирования Гёльдера.

Одна и та же последовательность (ряд) может быть суммируема одним методом и не суммируема другим. Множество всех последовательностей (рядов), суммируемых данным методом, называется полем суммируемости данного метода.

Если рассматривают два метода суммирования и поле суммируемости одного метода содержит поле другого метода, то говорят о включении методов суммирования; в случае совпадения полей говорят о равносильности методов суммирования. Если поле метода суммирования состоит только из сходящихся последовательностей, то говорят, что метод суммирования эквивалентен сходимости. Установление условий, при которых имеет место включение методов суммирования, является одной из задач теории суммируемости. Два или несколько методов суммирования могут быть совместными и несовместными. Методы суммирования называются совместными методами суммирования, если они не могут суммировать одну и ту же последовательность к различным пределам. В тех случаях когда из суммируемости ряда

$$\sum_{k=0}^\infty u_k$$методом $A$ всегда следует суммируемость ряда

$$\sum_{k=0}^\infty\lambda_k u_k$$методом $B$, говорят, что числа $\lambda_k$ являются множителями суммируемости типа $(A, B)$.

Относительно методов суммирования различают два типа теорем. В теоремах 1-го (абелевого) типа из свойств последовательности делают заключение о свойствах средних этой последовательности, полученных в результате преобразования, определяющего метод суммирования. Такова, например, теорема Коши, устанавливающая, что из $s_n\to s$ всегда следует $\dfrac{(s_0+s_1+\ldots+s_n)}{n+1}\to s$. В теоремах 2-го (тауберова) типа из свойств средних, соответствующих данному методу суммирования, и дополнительных условий делают заключения о свойствах преобразуемой последовательности (см. Тауберовы теоремы).

По аналогии с обычной сходимостью вводят понятия специальных видов суммируемости: абсолютной суммируемости, безусловной суммируемости, сильной суммируемости, почти-суммируемости, $\lambda$-суммируемости и других видов суммируемости.

Понятие обобщённого предела вводят также для функций и интегралов. В этих случаях говорят о суммировании функции (соответственно интеграла). Например, для функции $s(y)$, определённой для всех $y$, метод суммирования, аналогичный матричному методу суммирования последовательностей, состоит в том, что рассматривается интегральное преобразование типа

$$t(x)=\int\limits_0^\infty c(x,y)s(y)\,dy$$с ядром $c(x,y)$, и функции $s(y)$ в качестве её обобщённого предела при $y\to\infty$ относят число $s$, если

$$\lim_{x\to\infty}t(x)=s.$$Аналогично, один из методов суммирования несобственных интегралов

$$\tag{4}\int\limits_0^\infty a(t)\,dt$$состоит в том, что рассматривают преобразования

$$\gamma(x)=\int\limits_0^x K(x,t)a(t)\,dt$$с ядром $K(x,t)$, и интеграл (4) называют суммируемым к значению $s$, если

$$\lim_{n\to\infty}\gamma(x)=s.$$Определение метода суммирования, введённое для суммирования числовых и функциональных последовательностей, обобщается на последовательности из элементов любого множества, и общее определение метода суммирования может быть сформулировано так: пусть $X$ – заданное множество, $s(X)$ – множество последовательностей $x=\{\xi_n\}$ из элементов $\xi_n\in X$, $\overline{A}\colon A^{*}\to X$ – оператор, определённый на некотором подмножестве $A^{*}\subset s(X)$ со значениями в $X$. Тогда пару $A=(\overline{A}, A^{*})$ называют методом суммирования, определённым в $s(X)$, а $A^{*}$ – полем суммируемости. В этом случае последовательность $x=\{\xi_n\}\in A^{*}$ (или ряд $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty u_k$ с членами $u_k=\xi_k-\xi_{k-1}$) называют $A$-суммируемой ($A$-суммируемым) к значению (или сумме) $\overline{A}(x)$ и пишут: $$A\lim_{n\to\infty}\xi_n=\overline{A}(x).$$