Абсолю́тная сумми́руемость, специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования $A$ определён преобразованием последовательности $\{s_n\}$ в последовательность $\{\sigma_n\}$ посредством матрицы $\Vert a_{nk}\Vert$:

$$\sigma_n=\sum_{n=0}^\infty a_{nk}s_k,\quad n=0,1,2\ldots,$$тогда последовательность $\{s_n \}$ абсолютно суммируема методом $A$ ($|A|$-суммируема) к пределу $s$, если она $A$-суммируема к этому пределу, т. е.

$$\lim_{n\to\infty}\sigma_n=s,$$и последовательность $\{\sigma_n\}$ имеет ограниченную вариацию:

$$\tag{1}\sum_{n=1}^\infty|\sigma_n-\sigma_{n-1}|<\infty.$$Если $s_n$ являются частичными суммами ряда

$$\tag{2} \sum_{k=0}^\infty u_k,$$то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом $A$ к сумме $s$. Условие (1) и есть то дополнительное условие, которое выделяет в этом случае абсолютную суммируемость из обычной суммируемости. Аналогично определяется абсолютная суммируемость для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определён преобразованием ряда (2) в ряд

$$\tag{3} \sum_{n=0}^\infty\alpha_n$$посредством матрицы $\Vert b_{nk}\Vert$:

$$\alpha_n=\sum_{k=0}^\infty b_{nk}u_k,$$то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу $A$ соответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, абсолютная суммируемость ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.

Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для метода суммирования Абеля таким условием является требование, чтобы функция

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty u_kx^k$$имела ограниченную вариацию на полуинтервале $0\leqslant x<1$. Для интегральных методов суммирования абсолютная суммируемость выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в методе суммирования Бореля должен абсолютно сходиться интеграл

$$\int\limits_0^\infty e^{-x}\sum_{k=0}^\infty\frac{u_kx^k}{k!}\,dx.$$Метод суммирования называется сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к которой он сходится, то метод называется абсолютно регулярным. Например, метод суммирования Чезаро $(C, k)$ абсолютно регулярен при $k\geqslant 0$. Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определённого преобразованием ряда в ряд посредством матрицы $\Vert b_{nk}\Vert$, являются условия:

$$\sum_{n=0}^\infty|b_{nk}|\leqslant M,\quad \sum_{n=0}^\infty b_{nk}=1,\quad k=0,1,2,\ldots,$$(теорема Кноппа – Лоренца; см. Knopp. 1949). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.

Обобщением абсолютной суммируемости является абсолютная суммируемость в степени $p$ ($p\leqslant 1$). Дополнительным условием, выделяющим абсолютную суммируемость в степени $p$ из обычной суммируемости, например, для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности $\{s_n\}$ в последовательность $\{\sigma_n\}$, является условие:

$$\sum_{n=1}^\infty n^{p-1}|\sigma_n-\sigma_{n-1}|^p<\infty.$$Понятие абсолютной суммируемости введено Э. Борелем для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: абсолютная суммируемость выделялась требованием

$$\int\limits_0^\infty e^{-x}\left|\sum_{k=0}^\infty \frac{u_{k+p}x^k}{k!}\right|\,dx<\infty$$для каждого $p=0,1,2,\ldots$ . Абсолютная суммируемость применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась абсолютная суммируемость методами суммирования Чезаро ($|C, k|$-суммируемость). Общее определение абсолютной суммируемости возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.