Полунепреры́вный ме́тод сумми́рования, метод суммирования рядов и последовательностей, определённый с помощью последовательности функций. Пусть $\{a_k(\omega)\}$, $k=0,1,\ldots$, – последовательность функций, заданных на некотором множестве $E$ изменения параметра $\omega$, и $\omega_0$ – точка сгущения этого множества (конечная или бесконечная). Данную последовательность $\{s_n\}$ с помощью функций $\{a_k(\omega)\}$ преобразуют в функцию $\sigma(\omega)$:

$$\tag{1}\sigma(\omega)=\sum_{k=0}^\infty a_k(\omega)s_k.$$Если ряд в (1) сходится для всех $\omega$, достаточно близких к $\omega_0$, и

$$\lim_{\omega\to\omega_0}\sigma(\omega)=s,$$то последовательность $\{s_n\}$ называется суммируемой к пределу $s$ полунепрерывным методом суммирования, определённым последовательностью функций $\{a_k(\omega)\}$. Если $\{s_n\}$ – последовательность частичных сумм ряда

$$\tag{2}\sum_{k=0}^\infty u_k,$$то ряд (2) в этом случае называется суммируемым полунепрерывным методом к сумме $s$. Полунепрерывный метод суммирования при $\omega_0=\infty$ является аналогом матричного метода суммирования, определённого матрицей $\Vert a_{nk}\Vert$, причём целочисленный параметр $n$ заменён непрерывным параметром $\omega$. Последовательность функций $\{a_k(\omega)\}$ в этом случае называют полунепрерывной матрицей.

Полунепрерывный метод суммирования может задаваться преобразованием непосредственно ряда в функцию с помощью заданной последовательности функций, например $\{g_k(\omega)\}$:

$$\tag{3}\gamma(\omega)=\sum_{k=0}^\infty g_k(\omega)u_k.$$В этом случае ряд (2) называется суммируемым к сумме s, если

$$\lim_{\omega\to\omega_0}\gamma(\omega)=s,$$где $\omega_0$ – точка сгущения множества $E$ изменения параметра $\omega$, а ряд в (З) предполагается сходящимся для всех $\omega$, достаточно близких к $\omega_0$.

Полунепрерывные методы суммирования в некоторых случаях являются более удобными, чем методы суммирования, определённые обычными матрицами, т. к. позволяют использовать аппарат теории функций. Примерами полунепрерывных методов суммирования являются метод суммирования Абеля, метод суммирования Бореля, метод суммирования Линделёфа, метод суммирования Миттаг-Леффлера. Класс полунепрерывных методов суммирования составляют методы с полунепрерывными матрицами вида

$$a_k=p_k\omega^k\left/\sum_{l=0}^\infty p_l\omega^l\right.,$$где в знаменателе стоит целая функция, не сводящаяся к многочлену.

Условия регулярности полунепрерывного метода суммирования аналогичны условиям регулярности матричного метода суммирования. Например, условия

$$\sum_{k=0}^\infty|a_k(\omega)|\leqslant M$$для всех $\omega$, достаточно близких к $\omega_0$,

$$\begin{gathered}\lim_{\omega\to\omega_0}=0,\quad k=0,1,2,\ldots,\\ \lim_{\omega\to\omega_0}\sum_{k=0}^\infty a_k(\omega)=1 \end{gathered}$$являются необходимыми и достаточными, чтобы полунепрерывный метод суммирования, определённый преобразованием (1) последовательности $\{s_k\}$ в функцию, был регулярным (см. Признаки регулярности методов суммирования).