Несо́бственный интегра́л, обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования. Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном промежутке. Поэтому, если промежуток интегрирования или интегрируемая функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход, получающиеся при этом интегралы называют несобственными.

Если для некоторого числа $a$ функция $f(x)$ интегрируема на любом конечном отрезке $[a, b]$, $b > a$, и если существует

$\displaystyle\lim_{b\rightarrow \infty}\int_a^bf(x)\,dx,$то его называют несобственным интегралом функции $f(x)$ на промежутке $[a, \infty)$ и обозначают

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx.$В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Когда этот предел, а значит и несобственный интеграл не существует, иногда говорят, что несобственный интеграл расходится. Например $\int_1^\infty x^{-\gamma}dx$, сходится при $γ > 1$ и расходится при $γ⩽1$. Аналогично определяют несобственный интеграл на промежутке $(-∞, b]$. Несобственный интеграл $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ определяют как предел (если он существует) величин $\int_a^bf(x)dx$, когда $a→-∞, b→∞$ независимо друг от друга.

Если функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a, b]$, не ограничена в окрестности точки $a$, но интегрируема на любом отрезке $[a+\varepsilon,b],\; 0< \varepsilon < b-a$, и существует

$\displaystyle\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx,$то его называют несобственным интегралом функции $f(x)$ на $[a, b]$ и записывают обычным образом как

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx.$Аналогично поступают, если $f(x)$ не ограничена в окрестности точки $b$. Если функция $f(x)$ не ограничена в окрестности точки $c,\; a< c < b$, то несобственным интегралом функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ называется предел (если он существует) величин

$\displaystyle\int_a^{c-\varepsilon }f(x)dx + \int_{c+\delta }^bf(x)dx,$где $ε,\; 0< ε< c-a$, и $δ,\; 0< δ< b-c$, стремятся к нулю независимо друг от друга.

Если существует несобственный интеграл$\int_a^\infty |f(x)|dx$ или $\int_a^b |f(x)|dx$, то говорят, что несобственный интеграл $\int_a^bf(x)dx$ абсолютно сходится. Если же последние интегралы сходятся, но интегралы от функции $|f(x)|$ расходятся, то несобственные интегралы $\int_a^\infty f(x)dx$ или $\int_a^b f(x)dx$ называют условно сходящимися. Примеры таких интегралов (с верхним пределом интегрирования $∞$) см. в статье Интегральные синус и косинус.

Задачи, приводящие к несобственному интегралу, рассматривались Э. Торричелли и П. Ферма в 1644 г. Точные определения несобственного интеграла даны О. Коши (1823). Различать условно и абсолютно сходящиеся несобственные интегралы стали после работ Дж. Стокса и П. Дирихле (1854).

Несобственный интеграл имеют важное значение во многих областях математики и её приложений. В теории специальных функций одним из основных способов изучения является их представление в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например гамма-функция $\Gamma (\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$ (см. Эйлеровы интегралы). К несобственным интегралам относится и интеграл Фурье, а также интегралы, встречающиеся в других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются в виде несобственных интегралов с неограниченными подынтегральными функциями. В теории вероятностей часто используется несобственный интеграл $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$, в теории дифракции света – несобственный интеграл $\int\limits_0^\infty \sin x^2dx= 2^{-1}\sqrt{\pi /2}$.

В ряде задач оказывается полезным понятие главного значения расходящегося несобственного интеграла. Так называется число

$\displaystyle\lim_{c \rightarrow \infty}\int_{-c}^c f(x)dx,$если этот предел существует; его обозначают

$\displaystyle\text {V. p.}\;\int_{-\infty}^\infty f(x)dx.$Так, $\text{V.p.}\;\int_{-\infty}^\infty\frac{xdx}{1+x^2}=0$. Аналогично определяется главное значение несобственного интеграла от неограниченной функции (см. Интегральный логарифм).