Теоре́ма Чебышёва, если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$ и$$A=\max_{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-P_n(x)|,$$$$P_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k,$$то $P_n(x)$ тогда и только тогда является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции $f(x)$, т. е.$$\max_{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-P_n(x)|= \min_{\{c_k\}_0^n}\max_{a\leqslant x\leqslant b}\left|f(x)-\sum_{k=0}^nc_kx^k\right|,$$когда существуют $n+2$ точки $\{x_i\}$, $a\leqslant x_0<x_1<\dots< x_{n+1}\leqslant b$, образующие чебышёвский альтернанс, т. е. удовлетворяющие условию$$f(x_i)-P_n(x_i)=\varepsilon (A)(-1)^i,\quad i=0, 1, \dots,n+1,$$где $\varepsilon=1$ или $-1$. Сформулированная теорема была доказана П. Л. Чебышёвым в 1854 г. (Чебышёв. 1947) в более общем виде, а именно для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Теорема Чебышёва сохраняет силу, если вместо алгебраических многочленов рассматривать полином$$P_n(x)=\sum_{k=0}^nc_k\varphi_k(x),$$где $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^n$ – система Чебышёва. Критерий, сформулированный в теореме Чебышёва, применяется в методах приближённого построения полиномов наилучшего равномерного (чебышёвского) приближения. В несколько иной формулировке теорема Чебышёва распространяется на приближение функций комплексного переменного (Колмогоров. 1948) и абстрактных функций (Зуховицкий. 1956).