Соверше́нное отображе́ние, замкнутое непрерывное отображение топологических пространств с компактными прообразами точек. Более подробно, непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется совершенным, если оно замкнуто и для каждого $y\in Y$ прообраз $f^{-1}(y)$ является компактным подпространством пространства $X$.

Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ совершенно в том и только том случае, если для каждого топологического пространства $Z$ отображение $f\times\mathrm{id}_Z$ замкнуто. (Здесь отображение $f\times\mathrm{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z$ – декартово произведение отображения $f$ и тождественного отображения $\mathrm{id}_Z$ пространства $Z$; оно ставит в соответствие каждой точке $(x,z)\in X\times Z$ точку $(f(x),z)\in Y\times Z$.)

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения $f$ и $g$ совершенны, то композиция $g\circ f$ – совершенное отображение; б) если композиция $g\circ f$ – совершенное отображение, а отображение $f$ замкнуто и сюръективно, то отображение $g$ совершенно.

Ограничение совершенного отображения $f\colon X\to Y$ на замкнутое подмножество $A\subset X$ является совершенным отображением. Если ограничение непрерывного отделимого отображения $f\colon X\to Y$ на некоторое подмножество $A\subset X$ совершенно, то множество $A$ замкнуто. [Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется отделимым, или хаусдорфовым, если любые две различные точки $x_1, x_2\in X$ такие, что $f(x_1)=f(x_2)$, имеют непересекающиеся окрестности. В частности, непрерывные отображения хаусдорфовых пространств отделимы.]

Прообраз $f^{-1}(K)$ любого компактного множества $K\subset Y$ при совершенном отображении $f\colon X\to Y$ компактен; в случае когда $Y$ является k-пространством, верно и обратное утверждение: если хаусдорфово пространство $Y$ есть k-пространство и прообраз $f^{-1}(K)$ каждого компактного множества $K\subset Y$ при непрерывном отображении $f\colon X\to Y$ компактен, то отображение $f$ совершенно.

Важнейшим свойством класса совершенных отображений является его мультипликативность. Более подробно, пусть задано семейство совершенных отображений $\{f_s\}_{s\in S}$, где $f_s\colon X_s\to Y_s$ для каждого $s\in S$; тогда декартово произведение этих отображений (т. е. отображение $f\colon\prod\limits_{s\in S} X_s\to\prod\limits_{s\in S} Y_s$, ставящее в соответствие каждой точке $x=\{x_s\}_{s\in S}$ точку $y=\{f_s(x_s)\}_{s\in S}$) является совершенным.

Совершенные отображения тихоновских пространств могут быть охарактеризованы как «полные» в следующем смысле: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$, где $X$ и $Y$ – тихоновские пространства, совершенно в том и только том случае, если его нельзя непрерывно продолжить ни на какое хаусдорфово пространство $Z$, содержащее $X$ в качестве всюду плотного собственного подмножества.

Пусть $f\colon X\to Y$ – непрерывное отображение, $y\in Y$ – некоторая точка и $\mathcal N(y)$ обозначает семейство всех открытых окрестностей точки $y$. Следующие условия эквивалентны:

(i) отображение $f$ замкнуто в точке $y$, и множество $f^{-1}(y)$ компактно;

(ii) для каждого покрытия $\mathcal U$ множества $f^{-1}(y)$ открытыми в $X$ множествами найдутся такие $U_1, U_2,\ldots U_n\in\mathcal U$ и $V\in\mathcal N(y)$, что $f^{-1}(V)\subset U_1\cup U_2\cup\ldots\cup U_n$;

(iii) для каждого непустого семейства $\mathcal F$ замкнутых в $X$ множеств, такого, что $F_1\cap F_2\cap\ldots\cap F_n\cap f^{-1}(V)\neq\varnothing$ для любых $F_1, F_2,\ldots F_n\in\mathcal F$ и $V\in\mathcal N(y)$, найдётся точка $x\in\bigcap\mathcal F\cap f^{-1}(y)$;

(iv) любой фильтр $\mathcal F$ в множестве $X$, содержащий все множества вида $f^{-1}(V)$, где $V\in\mathcal N(y)$, имеет предельную точку, принадлежащую множеству $f^{-1}(y)$;

(v) любой ультрафильтр $\mathcal F$ в множестве $X$, содержащий все множества вида $f^{-1}(V)$, где $V\in\mathcal N(y)$, имеет предел, принадлежащий множеству $f^{-1}(y)$.

Говорят, что непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ совершенно в точке $y\in Y$, если оно удовлетворяет любому из эквивалентных условий (i)–(v). Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ совершенно в том и только том случае, если оно совершенно в каждой точке $y\in Y$.

Совершенные отображения составляют важнейший класс непрерывных отображений топологических пространств. Они играют среди всех непрерывных отображений роль, сходную с ролью компактных пространств среди всех топологических пространств; этому утверждению можно придать точный теоретико-категорный смысл (см., например, Clementino. 1996).