Откры́тое отображе́ние, непрерывное отображение топологических пространств, при котором образ любого открытого множества является открытым множеством. Более подробно, непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется открытым, если для каждого множества $U$, открытого в $X$, множество $f(U)$ открыто в $Y$.

Для отображения $f\colon X\to Y$ топологических пространств следующие условия равносильны:

(i) отображение $f$ открыто;

(ii) отображение $f$ непрерывно, и малый образ каждого замкнутого множества при отображении $f$ замкнут, т. е. для каждого замкнутого $F\subset X$ множество $f^{\#}(F)=\{y\in Y:f^{-1}(y)\subset F\}$ замкнуто в $Y$;

(iii) отображение $f$ непрерывно, и образ внутренности каждого множества содержится во внутренности его образа, т. е. $f(\mathop{\mathrm{Int}}(A))\subset\mathop{\mathrm{Int}}f(A)$ для всех $A\subset X$;

(iv) прообраз замыкания каждого множества равен замыканию прообраза, т. е. $f^{-1}(\overline{B})=\overline{f^{-1}(B)}$ для всех $B\subset Y$;

(v) прообраз границы каждого множества равен границе прообраза, т. е. $f^{-1}(\mathop{\mathrm{Fr}}{B})=\mathop{\mathrm{Fr}}f^{-1}(B)$ для всех $B\subset Y$;

(vi) внутренность прообраза каждого множества равна прообразу его внутренности, т. е. $\mathop{\mathrm{Int}}f^{-1}(B)= f^{-1}(\mathop{\mathrm{Int}}B)$ для всех $B\subset Y$.

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения $f$ и $g$ открыты, то композиция $g\circ f$ – открытое отображение; б) если композиция $g\circ f$ – открытое отображение, а отображение $f$ открыто и сюръективно, то отображение $g$ открыто. Ограничение открытого отображения $f\colon X\to Y$ на открытое подмножество $V\subset X$ является открытым отображением.

Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется открытым в точке $x\in X$, если для произвольной окрестности $U\subset X$ точки $x$ множество $f(U)$ содержит некоторую окрестность точки $f(x)$, т. е. если $f(x)\in\mathop{\mathrm{Int}}f(U)$. Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ открыто тогда и только тогда, когда оно открыто в каждой точке $x\in X$.

Примеры. 1. Любое отображение в одноточечное пространство является открытым (и одновременно замкнутым).

2. Взаимно однозначное отображение топологических пространств является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто.

3. Проекция $p\colon X\times Y\to Y$, где $X$, $Y$ – произвольные топологические пространства, является открытым отображением. В частности, открытыми отображениями являются проекции евклидовых пространств $p\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ при $n\geqslant m$.

4. Сюръективное линейное непрерывное отображение банаховых пространств является открытым отображением (это классическое утверждение функционального анализа, известное как теорема об открытом отображении).

5. Пусть $D\subset\mathbb{C}$ – область (открытое связное множество) комплексной плоскости, тогда любая непостоянная голоморфная в $D$ функция $f\colon D\to\mathbb{C}$ является открытым отображением (это утверждение – переформулировка известного в комплексном анализе принципа сохранения области).

Некоторые свойства топологических пространств, не сохраняющиеся в общем случае непрерывными отображениями, могут сохраняться открытыми отображениями. В частности, открытые отображения не повышают вес и характер пространства, т. е. если $f\colon X\to Y$ – открытое сюръективное отображение, то $w(Y)\leqslant w(X)$ и $\chi(Y)\leqslant\chi(X)$; при этом требование открытости (а не только непрерывности) отображения существенно.

Общее определение открытого отображения топологических пространств (под названием внутреннего, нем. innere) появилось у Н. Ароншайна (Aronszajn. 1931).

Иногда в определение открытого отображения не включают непрерывность, т. е. открытым называют отображение $f\colon X\to Y$ топологических пространств (необязательно непрерывное), при котором образ любого открытого множества является открытым множеством. Это условие равносильно любому из следующих:

a) $f(\mathop{\mathrm{Int}}(A))\subset\mathop{\mathrm{Int}}f(A)$ для всех $A\subset X$;

b) $f^{-1}(\overline{B})\subset\overline{f^{-1}(B)}$ для всех $B\subset Y$;

с) $f^{-1}(\mathop{\mathrm{Fr}}{B})\subset\mathop{\mathrm{Fr}}f^{-1}(B)$ для всех $B\subset Y$;

d) $\mathop{\mathrm{Int}}f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\mathop{\mathrm{Int}}B)$ для всех $B\subset Y$;

e) $\overline{f^{\#}(A)}\subset f^{\#}(\overline{A})$ для всех $A\subset X$.

В такой терминологии открытое отображение (понимаемое в смысле определения, принятого в настоящей статье) является «непрерывным и открытым».