Замыка́ние мно́жества $A$ в топологическом пространстве $X$, пересечение всех замкнутых в $X$ множеств, содержащих множество $A$. Замыкание множества $A$ обозначается через $\overline A$, а также через $\mathop{\mathrm{Cl}}A$, $\mathop{\mathrm{сl}}A$ (от англ. closure) и $[A]$; в случае необходимости явно указать пространство $X$, в котором берётся замыкание, к последним трём обозначениям добавляют соответствующий индекс: $\mathop{\mathrm{Cl}_X}A$, $\mathop{\mathrm{сl}_X}A$, $[A]_X$. Равносильным образом замыкание $\overline{A}$ может быть определено как наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$, либо как множество всех точек прикосновения множества $A$. Кроме того, имеют место равенства

$$\overline A=A\cup A^{\mathrm d},\quad\overline A=A\cup\mathop{\mathrm{Fr}}A,$$где $A^{\mathrm d}$ – производное множество множества $A$, а $\mathop{\mathrm{Fr}}A$ – граница множества $A$. Множество $A$ совпадает со своим замыканием $\overline A$ в том и только в том случае, если оно замкнуто.

Пример. Отрезок $[a,b]$ вещественной прямой $\mathbb{R}$ является замыканием каждого из следующих множеств: интервала $(a,b)$; полуинтервалов $[a,b)$ и $(a,b]$; множества всех рациональных чисел, лежащих в интервале $(a,b)$; множества всех иррациональных чисел, лежащих в интервале $(a,b)$.

Свойства оператора замыкания

Отображение, ставящее в соответствие каждому множеству $A\subset X$ его замыкание $\overline A$, часто называют оператором замыкания (более точно, оператором топологического замыкания) на $X$. Оператор замыкания обладает следующими свойствами:
(CO1) $\overline{\varnothing}=\varnothing$ (сохранение пустого множества);
(CO2) $A\subset\overline{A}$ (экстенсивность);
(CO3) $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ (аддитивность);
(CO4) $\overline{(\overline{A})}=\overline{A}$ (идемпотентность).

Эти свойства оператора замыкания могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом (см. в статье Топологическое пространство); такой подход к определению топологического пространства впервые предложил К. Куратовский (Kuratowski. 1922), в честь которого свойства (CO1)–(CO4) называются аксиомами Куратовского. В оригинальной работе Куратовского они приведены в иной последовательности, а именно: (СO3), (CO2), (CO1), (CO4); последовательность аксиом замыкания, принятая в настоящей статье, стала общепринятой после выхода монографии Р. Энгелькинга (Энгелькинг. 1986).

Четыре аксиомы Куратовского (CO1)–(CO4) эквивалентны единственной аксиоме

$$\tag{1} A\cup\overline{A}\cup \overline{\overline{B}}=\overline{A\cup B}\setminus\overline{\varnothing}.$$[Данное утверждение следует понимать в том смысле, что некоторый оператор $\overline{\phantom{A}}$, ставящий в соответствие каждому множеству $A\subset X$ множество $\overline{A}\subset X$, обладает свойствами (CO1)–(CO4) тогда и только тогда, когда он обладает свойством (1).]

Из свойства аддитивности (CO3) следует монотонность оператора замыкания:

$$\text {если } A\subset B, \text{ то }\overline{A}\subset\overline{B},$$а также свойства:

$$\begin{gather*} \overline A\setminus\overline{B}=\overline{A\setminus B}\setminus \overline{B}\subset\overline{A\setminus B},\tag{2}\\ \overline{\bigcup_{s\in S}A_s}\supset\bigcup_{s\in S}\overline{A_s},\tag{3}\\ \overline{\bigcap_{s\in S}A_s}\subset\bigcap_{s\in S}\overline{A_s}\tag{4}. \end{gather*}$$Включения (2)–(4) могут быть строгими, причём (4) – строгим даже в случае конечного множества индексов $S$.

Свойство (3) может быть уточнено следующим образом:

$$\tag{5} \overline{\bigcup_{s\in S}A_s} = \bigcup_{s\in S}\overline{A_s}\,\cup \bigcap_{T\in\Omega_0(S)}\Bigl(\,\bigcup_{s\in S\setminus T}A_s\Bigr),$$где $\Omega_0(S)$ обозначает семейство всех конечных подмножеств множества $S$. Частным случаем равенства (5) является следующая формула замыкания объединения бесконечной последовательности множеств:

$$\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}=\bigcup_{i=1}^\infty\overline{A_i}\,\cup\, \bigcap_{i=1}^\infty\overline{\bigcup_{j=0}^\infty A_{i+j}}.$$Применяя к заданному подмножеству топологического пространства операции замыкания и дополнения (в любом порядке), можно получить не более 14 различных множеств (задача Куратовского).

Замыкание множества в метрических пространствах

В метрических пространствах (и, более общо, в пространствах с первой аксиомой счётности) замыкание множества $A$ совпадает с множеством пределов всевозможных последовательностей точек из $A$ (необязательно различных); иногда в учебной литературе в качестве определения замыкания множества в метрическом пространстве принимается именно указанное свойство. В неметризуемых пространствах оно, вообще говоря, не имеет места: может случиться так, что $x\in\overline{A}$, но никакая последовательность точек множества $A$ не сходится к $x$ (ср. сходимость по Муру – Смиту и понятие пространства Фреше – Урысона).

Если $(X,\rho)$ – метрическое пространство, то для каждого $A\subset X$ имеют место равенства

$$\overline{A}=\{x\in X: \rho(x,A)=0 \}\quad\text{и}\quad\rho(x,A)=\rho(x,\overline{A}),$$где $$\rho(x,M)=\begin{cases} \inf\{\rho(x,y):y\in M\}, &\text{ если } M\neq\varnothing,\\ +\infty, &\text{ если } M=\varnothing \end{cases}$$– расстояние от точки $x$ до множества $M\subset X$.