Паракомпа́ктное простра́нство, топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие. (Семейство $\gamma$ множеств, лежащих в топологическом пространстве $X$, называется локально конечным в $X$, если у каждой точки $x\in X$ существует окрестность в $X$, пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства $\gamma$; семейство $\gamma$ множеств вписано в семейство $\lambda$ множеств, если каждый элемент семейства $\gamma$ содержится в некотором элементе семейства $\lambda$.) Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Класс паракомпактов весьма широк – он включает все метрические пространства (теорема Стоуна) и все бикомпакты. Однако не каждое локально бикомпактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Значение паракомпактности определяется отмеченной общностью этого понятия и рядом замечательных свойств паракомпактов. Прежде всего, каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчинённые произвольному заданному открытому покрытию $\gamma$. Так называются семейства действительных неотрицательных непрерывных функций на пространстве, подчинённые следующим условиям: а) семейство носителей этих функций локально конечно и вписано в $\gamma$; б) в каждой точке пространства сумма значений всех тех функций семейства, которые отличны в ней от нуля (а таких функций конечное число), равна 1. Разбиения единицы являются основным средством построения погружений пространств в стандартные пространства. В частности, они используются для вложений многообразий в евклидовы пространства и при доказательстве теоремы о метризуемости каждого тихоновского пространства с $\sigma$-локально конечной базой. Кроме того, на разбиениях единицы в теории многообразий основаны методы, с помощью которых осуществляется единовременный синтез локальных построений, производимых в пределах отдельных карт (в частности, тех или иных векторных и тензорных полей). Поэтому одним из исходных требований в теории многообразий является требование паракомпактности, не являющееся лишним, т. к. существуют непаракомпактные связные хаусдорфовы многообразия.

В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности, если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем; если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху. В теории размерности для паракомпактов удаётся получить ряд важных соотношений, не распространяющихся даже на нормальные пространства. Это не удивительно, т. к. одно из основных определений размерности – по Лебегу – связано с рассмотрением кратности открытых покрытий, что, несомненно, родственно идее локальной конечности, на которой основано определение паракомпактности.

Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами (в отличие от метризуемости), иначе, например, все тихоновские пространства, как подпространства бикомпактных, оказались бы паракомпактами. Но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт. Большим недостатком паракомпактности является отсутствие мультипликативности: произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть. С другой стороны, в классе хаусдорфовых пространств прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом, и образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом. К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных действительных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линделёфовости. Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём бикомпактом, то оно паракомпактно. Важный пример паракомпактов – полиэдры, стоящие за $CW$-комплексами.

В классе паракомпактов упрощаются критерии метризуемости. В частности, паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, т. е. базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку $x\in X$, непременно образует базу в этой точке. Многообразны критерии паракомпактности. В частности, для тихоновского пространства $X$ равносильны условия: а) $X$ паракомпактно, б) в любое открытое покрытие пространства $X$ можно вписать локально конечное покрытие, в) в каждое открытое покрытие пространства $X$ можно вписать $\sigma$-локально конечное открытое покрытие, г) в любое открытое покрытие пространства $X$ можно вписать консервативное замкнутое покрытие, т. е. покрытие, объединение любого подсемейства которого замкнуто в $X$.

Важным является следующий критерий: тихоновское пространство $X$ паракомпактно в том и только в том случае, если в каждое его открытое покрытие $\gamma$ можно вписать некоторое открытое покрытие $\lambda$ звёздно; последнее означает, что для каждой точки $x\in X$ объединение всех элементов покрытия $\lambda$, содержащих $x$, содержится в некотором элементе покрытия $\gamma$. Понятие звёздной вписанности служит выражением идеи неограниченной дробимости пространства и может восприниматься как наиболее общая теоретико-множественная форма аксиомы треугольника.