Теоре́ма Ти́тце – Урысо́на (теорема Титце о продолжении, теорема Брауэра – Титце – Урысона), теорема о продолжении непрерывной функции, определённой на замкнутом подмножестве нормального топологического пространства. Она утверждает, что любая непрерывная вещественнозначная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства $X$, непрерывно продолжается на всё пространство $𝑋$.

Более подробно, для каждой непрерывной функции $𝑓 \colon 𝐴 \to\mathbb{R}$ (здесь $ℝ$ обозначает вещественную прямую), где $𝐴$ – замкнутое подмножество нормального топологического пространства $𝑋$, существует непрерывная функция $𝐹 \colon 𝑋\to \mathbb{R}$, являющаяся продолжением функции $𝑓$, т. е. такая, что $𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)$ для всех $𝑥 ∈ 𝐴$. Кроме того, если функция $𝑓$ принимает значения в некотором отрезке $[𝑎, 𝑏]$ вещественной прямой (т. е. ограничена снизу и сверху числами $𝑎$ и $𝑏$ соответственно), то и продолжающую функцию $𝐹$ можно выбрать так, чтобы она принимала значения в этом же отрезке.

Теорема Титце – Урысона обобщает лемму Урысона, поскольку последнюю можно рассматривать как утверждение о существовании продолжения непрерывной функции $𝑓$ в специальном случае, когда $𝑓$ определена на замкнутом подмножестве $𝐴∪𝐵$ нормального пространства $𝑋$ (где $𝐴$ и $𝐵$ – непересекающиеся замкнутые в $𝑋$ множества) следующим образом: $𝑓(𝑥) = 0$ для всех $𝑥 ∈ 𝐴$ и $𝑓(𝑥) = 1$ для всех $𝑥 ∈ 𝐵$. Вместе с тем стандартное доказательство теоремы Титце – Урысона основывается на лемме Урысона.

Подмножество $𝐴$ топологического пространства $𝑋$ называется С-вложенным в $𝑋$, если любая непрерывная функция $𝑓 \colon 𝑋 \to \mathbb{R}$ продолжается на $𝑋$, и C^*-вложенным в $𝑋$, если любая непрерывная ограниченная функция $𝑓 \colon 𝑋 \to \mathbb{R}$ продолжается на $𝑋$. Теорема Титце – Урысона утверждает, что любое замкнутое подмножество нормального пространства C-вложено и C^*-вложено в него (более того, каждое из этих условий эквивалентно нормальности пространства $𝑋$). Имеет место следующая теорема Урысона, устанавливающая критерий C^*-вложенности: множество $𝐴$ является C^*-вложенным в пространство $𝑋$ тогда и только тогда, когда любые два функционально отделимые в $𝐴$ множества функционально отделимы в $𝑋$. Теорема Титце – Урысона может быть выведена из указанной теоремы Урысона.

Утверждение о возможности продолжения непрерывных функций с замкнутых подмножеств плоскости было отмечено А. Лебегом (1907), затем обобщено Л. Брауэром (1911) на евклидовы пространства произвольной размерности и Г. Титце (1915) – на метрические пространства и, наконец, в полной общности доказано для нормальных пространств П. С. Урысоном (Urysohn. 1925; рус. пер. Урысон. 1951).