Хаусдо́рфово прострáнство, топологическое пространство, каждые две различные точки которого отделимы непересекающимися окрестностями. Более подробно: топологическое пространство $𝑋$ называется хаусдорфовым, если оно удовлетворяет следующей аксиоме Хаусдорфа: для каждой пары различных точек $x,y\in X$ существуют открытые множества $𝑈, 𝑉$ –такие, что $x\in U$, $𝑦 ∈ 𝑉$ и $U\cap V=\varnothing$. Аксиома Хаусдорфа также называется аксиомой отделимости $T_2$, а хаусдорфовы пространства именуются $T_2$-пространствами.

Для любого топологического пространства $𝑋$ следующие условия эквивалентны:

• пространство $𝑋$ хаусдорфово;

• любое одноточечное подмножество $\{x\}$ пространства $𝑋$ является пересечением замыканий своих окрестностей, т. е. $\{x\}=\bigcap\{\overline U:U\text{ открыто в $X$ и }x\in U\}$;

• каждый фильтр $\mathcal{F}$ в пространстве $𝑋$ имеет не более одного предела;

• диагональ $\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}$ является замкнутым подмножеством топологического произведения $X\times X$.

Подпространство хаусдорфова пространства является хаусдорфовым; топологическое произведение хаусдорфовых пространств – хаусдорфово пространство.

Простейший пример нехаусдорфова $T_1$-пространства (т. е. топологического пространства, все одноточечные подмножества которого замкнуты) представляет собой произвольное бесконечное множество $𝑋$ с топологией, определённой следующим образом: множество $U\subset X$ открыто в том и только том случае, если оно либо пусто, либо его дополнение $X\setminus U$ конечно. В этом пространстве любые два непустых открытых множества пересекаются; оно также является компактным.

Если $f\colon X\to Y$ – непрерывное отображение произвольного топологического пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$, то его график (т. е. множество $\{\left(x,f(x)\right):x\in X\}$) замкнут в $X\times Y$. Для произвольных непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y$ в хаусдорфово пространство $Y$ множество точек совпадения этих отображений (т. е. множество $\{x\in X: f(x)=g(x)\}$) замкнуто в $X$; это утверждение обобщается также и на произвольное семейство отображений. Отсюда следует фундаментальное утверждение о хаусдорфовых пространствах, иногда называемое «принципом продолжения тождеств»: если два непрерывных отображения топологического пространства $X$ в хаусдорфово пространство совпадают на некотором всюду плотном в $X$ подмножестве, то они совпадают на всём $X$ (иначе говоря, если непрерывное отображение всюду плотного подпространства $A$ топологического пространства $X$ в хаусдорфово проcтранство $Y$ непрерывно продолжается на всё $X$, то это продолжение единственно).

Другое важнейшее свойство хаусдорфовых пространств: любое компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Топологические пространства, встречающиеся в классических разделах функционального анализа, дифференциальной геометрии и топологии, как правило, хаусдорфовы.

Топологическое пространство $X$ называется слабо хаусдорфовым, если для любого непрерывного отображения $f\colon K\to X$ хаусдорфова компакта $𝐾$ в пространство $X$ образ $f(K)$ – замкнутое множество. Слабо хаусдорфово пространство является $𝑇_1$-пространством; всякое хаусдорфово пространство слабо хаусдорфово, но обратное неверно; слабо хаусдорфовы пространства находят важное применение в алгебраической топологии, являясь во многих случаях более удобным классом пространств, чем хаусдорфовы.

Хаусдорфовы пространства названы в честь Ф. Хаусдорфа, который включал аксиому отделимости $T_2$ в своё определение топологических пространств (Hausdorff. 1914). Понятие слабой хаусдорфовости введено М. К. Маккордом (McCord. 1969).