Гру́ппа, один из основных типов алгебраических систем. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких операций – умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже 19–20 вв., в результате которой понятие математической системы (=структуры) стало основным в математике.

Определение

Группой называется произвольное множество $G$ с одной бинарной операцией, удовлетворяющей следующим аксиомам (если операцию записывать как умножение):

1) операция ассоциативна, т. е. $(a b) c=a(b c)$ для любых $a, b, c$ из $G$;

2) операция гарантирует единицу, т. е. в $G$ существует такой элемент $e$, называемый единицей, что $a e=e a=a$ для любого $a$ из $G$;

3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого $a$ из $G$ существует в $G$ такой элемент $x$, называемый обратным к $a$, что $ax=x a=e$.

Иногда вместо системы аксиом 1–3 пользуются равносильной системой из двух аксиом – 1 и 4: операция гарантирует левые и правые частные, т. е. для любых двух элементов $a, b$ из $G$ существуют в $G$ такие элементы $x, y$, называемые левым частным и правым частным от деления $b$ на $a$, что $a x=b$, $y a=b$.

Из определений следует, что единица в любой группе единственна, для любого элемента из группы обратный к нему элемент единствен и для любых элементов $a, b$ из группы оба частных от деления $b$ на $a$ единственны.

Исторические замечания

Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых – теория решения алгебраических уравнений в радикалах. В «Мемуаре об алгебраическом решении уравнений» Ж.-Л. Лагранжа (1771) и одной работе А.-Т. Вандермонда (1771) впервые для нужд этой теории были применены подстановки. Особо важен для теории групп «Мемуар» Ж. Лагранжа, где в терминах многочленов по существу получено разложение симметрической группы подстановок на смежные классы по подгруппе. Глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абелем (1824) и Э. Галуа (1830). Вместе с тем Э. Галуа принадлежат конкретные достижения в теории групп: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление простоты знакопеременных групп степени $n\geqslant 5$ и пр. Важную роль в систематизации и развитии этого направления алгебры сыграл трактат К. Жордана (1870) о группе подстановок.

Независимо идея группы возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвящёнными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации.

Таким «изучением геометрического родства» много занимался А. Мёбиус (A. Möbius), исследовавший конгруэнтность, подобие, аффинность, коллинеацию и, наконец, «элементарные виды родства» геометрических фигур, т. е. по существу топологическую эквивалентность. На более сознательном уровне классификация геометрий была дана А. Кэли (1854 и далее) и другими представителями английской школы теории инвариантов: А. Кэли явно пользовался термином «группа», систематически использовал таблицы умножения, называемые теперь его именем, он доказал представимость всякой конечной группы подстановками, пришёл к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и определяющими соотношениями. Заключительным этапом на этом пути явилась Эрлангенская программа Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие группы преобразований.

Третий источник понятия группы – теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (1801) в «Арифметических исследованиях», занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», К. Гаусс по существу доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых идей, использовавшихся долгое время независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группы. Так, С. Ли (1895) уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы. Изучение группы без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 г. книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп».

Примеры групп

Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие роль группы в алгебре, в других разделах математики и в естествознании.

а) Группы Галуа. Пусть $K$ – конечное, сепарабельное и нормальное расширение поля $k$. Автоморфизмы поля $K$, оставляющие элементы подполя $k$ неподвижными, образуют группу $\operatorname{Gal}(K/k)$ относительно их последовательного выполнения, называемую группой Галуа расширения $K/k$. Основная теорема теории Галуа гласит: отображение, сопоставляющее каждой подгруппе группы $\operatorname{Gal}(K/k)$ её неподвижное подполе, является антиизоморфизмом решётки подгрупп группы $\operatorname{Gal}(K/k)$ на решётку промежуточных подполей, заключённых между $k$ и $K$.

Приложение к вопросу о разрешимости уравнений в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть $f$ – многочлен от $x$ над полем $k$, $K$ – поле разложения $f$. Группа $\operatorname{Gal}(K/k)$ называется группой Галуа многочлена $f$ над полем $k$ [её элементы естественным образом изображаются подстановками корней уравнения $f(x)=0$]. Оказывается, уравнение $f(x)=0$ тогда и только тогда решается в радикалах, когда группа Галуа многочлена $f$ разрешима.

В этом и других аналогичных примерах группы возникают в форме групп автоморфизмов математических структур. Это не только одна из важнейших форм, но и вообще присущая только группам форма применения, обеспечивающая им особое положение в алгебре. Дело в том, что автоморфизмы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда можно «группировать», тогда как определить на множестве автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь другой полезной структуры удаётся лишь в специальных случаях.

б) Гомологические группы. Ведущей идеей теории гомологий является применение теории (абелевых) групп к изучению категории топологических пространств. Каждому пространству $X$ сопоставляется семейство абелевых групп $H_{0}(X), H_{1}(X), \ldots$ и каждому непрерывному отображению $f: X \rightarrow Y$ – семейство гомоморфизмов $f_{n}: H_{n}(X) \rightarrow H_{n}(Y)$, $n=0,1,2, \ldots$ Изучение гомологических групп $H_{n}(X)$ и их гомоморфизмов средствами теории групп часто позволяет решить исходную топологическую задачу. Типичный пример – задача распространения: можно ли отображение $g: A \rightarrow Y$, определённое на подпространстве $A$ пространства $X$, распространить на все $X$, т. е. представить $g$ как суперпозицию вложения $h: A \rightarrow X$ и некоторого непрерывного отображения $f: X \rightarrow Y$? Если да, то в гомологиях должно быть $g_{n}=f_{n} \circ h_{n},$ т. е. каждый гомоморфизм $g_{n}: H_{n}(A) \rightarrow H_{n}(Y)$ можно пропустить через $H_{n}(X)$ с заданным множителем $h_{n}$. Если эта алгебраическая задача неразрешима, то и исходная топологическая задача неразрешима. Этим способом можно получать важные положительные результаты.

Гомологические группы иллюстрируют другой типичный путь применения групп – путь изучения неалгебраических объектов с помощью алгебраических систем, отражающих их поведение. Именно таков основной метод алгебраической топологии. Аналогичный метод и, в частности, гомологические группы успешно используются и для изучения самих алгебраических систем – групп, колец и пр. (например, в теории расширений групп).

в) Группы симметрий. Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрической фигуры. Именно, каждой фигуре можно сопоставить совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с нею самой. Эта совокупность будет группой относительно последовательного выполнения преобразований. Она и характеризует симметричность фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Фёдоров в 1890 г. решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Существует всего 17 плоских фёдоровских групп (они были найдены непосредственно), пространственных фёдоровских групп – 230, и только теория групп позволила провести их исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании.

Аналогичную роль играет теория групп в физике. Так, в квантовой механике состояние физической системы изображается точкой бесконечномерного векторного пространства. Если физическая система переходит из одного состояния в другое, то изображающая её точка подвергается некоторому линейному преобразованию. Соображения симметрии и теория представлений групп линейными преобразованиями имеют здесь первостепенное значение.

Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идёт о симметрии. Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому теория групп незаменима в этих вопросах.

Важнейшие классы групп

«Конечная цель» теории групп – описать все групповые операции или, иначе, все группы с точностью до изоморфизма. Теория групп распадается на ряд разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую операцию или внесением в группу дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой операцией.

Старейшей и интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых групп, к которым относятся многие классические группы матриц над конечными полями, а также «спорадические» простые конечные группы (группы Матьё и др.). На другом полюсе находятся конечные разрешимые группы, в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и пр.), во многом определяющих строение самой группы. Часто конечные группы возникают в форме групп подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных групп.

Типичным методом исследования бесконечных групп является наложение на них того или иного условия конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные группы, группы с условием максимальности для подгрупп (нётеровы группы), группы с условием минимальности для подгрупп (артиновы группы), конечно порождённые группы, группы конечного ранга, финитно аппроксимируемые группы.

При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы группы, абелевы группы без кручения и периодические абелевы группы, а в них – сервантные и примарные подгруппы. Исследование произвольной абелевой группы во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых групп, развиваемой в основном гомологическими методами.

Более широкими по отношению к классу абелевых групп являются классы нильпотентных групп и разрешимых групп, теория которых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости наиболее употребительны локальная нильпотентность, локальная разрешимость, нормализаторное условие, а также многочисленные свойства, определяемые наличием в группах субнормальных систем того или иного типа. Заметную роль играют специальные классы разрешимых и нильпотентных групп: сверхразрешимые группы, полициклические группы.

Важной частью теории групп является теория группы преобразований, в том числе теория группы подстановок и теория линейных групп. Ряд важных классов групп определяется внесением в группу дополнительных структур, согласованных с групповой операцией; сюда относятся топологические группы, группы Ли, алгебраические группы, упорядоченные группы. Из других классов групп следует отметить группы, свободные в том или ином многообразии, полные группы, группы, аппроксимируемые в том или ином смысле, группы, определяемые условиями в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений, группы, выделяемые условиями на решётку подгрупп.