Семе́йство мно́жеств, одно из фундаментальных общематематических понятий.

Индексированные и неиндексированные семейства множеств

Различают индексированные и неиндексированные семейства множеств.

Индексированные семейства

Индексированное семейство множеств $\{A_s\}_{s\in S}$ есть в строгом смысле функция, приписывающая каждому элементу $s$ некоторого множества $S$ (называемого множеством индексов, или индексирующим множеством) множество $A_s$. При этом случай $S=\varnothing$ не исключается (тогда говорят о пустом семействе множеств; ниже специально оговариваются особенности этого случая), в то же время в математических построениях очень часто молчаливо предполагается, что множества индексов рассматриваемых семейств множеств не пусты.

Если множеством индексов является конечное множество $\{1,2,\ldots, n\}$ (или множество всех натуральных чисел), то семейство множеств часто называют конечной (соответственно, бесконечной) последовательностью множеств и обозначают $\{A_i\}_{i=1}^n$ (соответственно, $\{A_i\}_{i=1}^\infty$).

Если $P\subset S$, то семейство $\{A_s\}_{s\in P}$ называют подсемейством семейства $\{A_s\}_{s\in S}$.

Множество индексов может представлять собой декартово произведение $T\times S$ – в таком случае говорят о двойных индексах и вместо $\{A_{(t,s)}\}_{(t,s)\in T\times S}$ обычно пишут $\{A_{t,s}\}_{t\in T,\ s\in S}$. Аналогично определяются индексы тройные и т. д.; индексы также могут представлять собой конечные или бесконечные последовательности элементов некоторого множества (важный пример такого рода присутствует в определении А-операции).

Неиндексированные семейства

Неиндексированное семейство $\mathcal{A}$ есть просто некоторое множество множеств (т. е. множество, элементами которого являются множества; типичным примером служит алгебра множеств). Часто (как в случае алгебр множеств) при рассмотрении неиндексированных семейств $\mathcal{A}$ подразумевается, что они состоят из подмножеств некоторого заданного множества $X$, т. е. $\mathcal{A}\subset\Omega(X)$, где $\Omega(X)$ обозначает множество всех подмножеств множества $X$. Любое неиндексированное семейство можно рассматривать как индексированное, если взять каждый элемент этого семейства в качестве его собственного индекса, т. е. считать, что $\mathcal{A}=\{A\}_{A\in\mathcal{A}}$ (или, для формального соответствия предыдущим обозначениям, считать, что $\mathcal{A}=\{A_s\}_{s\in S}$, где $S=\mathcal{A}$ и $A_s=s$ для всех $s\in S$). При таком стандартном рассмотрении все понятия и конструкции, определяемые для индексированных семейств множеств, относятся и к неиндексированным семействам. Например, неиндексированное семейство $\mathcal{A}\subset\Omega(X)$ точечно конечно тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X$ множество $\{A\in\mathcal{A}:x\in A\}$ конечно.

Если $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$, то $\mathcal{B}$ называют подсемейством семейства $\mathcal{A}$ (это определение согласуется как с обычным определением подмножества, так и с данным выше определением подсемейства индексированного семейства).

Для обозначения семейств множеств (как индексированных, так и неиндексированных) обычно используются прописные латинские буквы из специальных «рукописных» гарнитур: $\mathcal{A, B, C}\ldots;\quad \mathscr{A, B, C}\ldots$

Отличие индексированных семейств от неиндексированных

Основное практическое отличие индексированного семейства от неиндексированного состоит в том, что в индексированном семействе $\mathcal{A}=\{A_s\}_{s\in S}$ в общем случае «допускаются повторения элементов» (т. е. может иметь место равенство $A_{s_1}=A_{s_2}$ при $s_1\neq s_2$), и тогда семейство $\mathcal{A}$ нельзя отождествить с множеством (неиндексированным семейством множеств)

$$\tag{1}\mathcal{A}^\natural=\{A : A=A_s\text{ для некоторого }s\in S\}.$$[Поэтому иногда употребляемое вместо $\{A_s\}_{s\in S}$ обозначение $\{A_s:s\in S\}$ в некоторых случаях приводит к путанице, поскольку оно может пониматься как другое обозначение множества (1)]. Указанное отличие иллюстрирует следующий пример. Семейство $\mathcal{A}=\{A_s\}_{s\in S}$ называется дизъюнктным, если его элементы с различными индексами не пересекаются, т. е. если $A_{s_1}\cap A_{s_2}=\varnothing$ для всех $s_1,s_2\in S$, $s_1\neq s_2$; тогда неиндексированное семейство $\mathcal{R}$ (в соответствии с приведённым выше замечанием) дизъюнктно тогда и только тогда, когда $A\cap B=\varnothing$ для любых различных $A,B\in\mathcal{R}$. Пусть $M$ – произвольное непустое множество; семейство $\mathcal{A}=\{A_s\}_{s\in\{0,1\}}$, где $A_0=A_1=M$, не является дизъюнктным; в то же время одноэлементное неиндексированное семейство $\mathcal{A}^\natural=\{M\}$ дизъюнктно. Вместе с тем формальное отличие индексированного семейства $\mathcal{A}=\{A_s\}_{s\in S}$ от соответствующего ему неиндексированного семейства $\mathcal{A}^\natural$, определённого равенством (1), во многих случаях оказывается несущественным.

Использование (когда это возможно) неиндексированных семейств вместо индексированных обычно упрощает обозначения в математических рассуждениях.

Основные операции на семействах множеств

Объединение и пересечение

Для каждого семейства множеств $\{A_s\}_{s\in S}$ определено его объединение $\bigcup\limits_{s\in S}A_s$; при этом случай $S=\varnothing$ не исключается (тогда объединение является пустым множеством). Если $S\neq\varnothing$, то определено пересечение $\bigcap\limits_{s\in S} A_s$. Объединение и пересечение неиндексированного семейства множеств $\mathcal{A}$ обозначаются $\bigcup\mathcal{A}$ и $\bigcap\mathcal{A}$ соответственно; например, $\bigcup\varnothing=\varnothing$. Если $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$, то $\bigcup\mathcal{B}\subset\bigcup\mathcal{A}$ и $\bigcap\mathcal{A}\subset\bigcap\mathcal{B}$ (в последнем включении предполагается, что $\mathcal{B}\neq\varnothing$).

Пусть дано множество $X$ и некоторое семейство $\{A_s\}_{s\in S}$ его подмножеств. Тогда имеют место обобщённые законы (формулы) де Моргана:

$$\tag{2a}\begin{gathered} X\setminus\bigcup_{s\in S}A_s=\bigcap_{s\in S}X\setminus A_s,\\ X\setminus\bigcap_{s\in S}A_s=\bigcup_{s\in S}X\setminus A_s \end{gathered}$$(здесь $X\setminus A$ обозначает разность множеств). В случае неиндексированного семейства $\mathcal{A}\subset\Omega(X)$ эти формулы могут быть записаны как

$$\tag{2b}\begin{gathered} X\setminus\bigcup\mathcal{A}=\bigcap\{X\setminus A : A\in\mathcal{A}\}, \\ X\setminus\bigcap\mathcal{A}=\bigcup\{X\setminus A : A\in\mathcal{A}\}. \end{gathered}$$Строго говоря, в (2a) нужно требовать выполнение условия $S\neq\varnothing$ и, соответственно, условия $\mathcal{A}\neq\varnothing$ в (2b). Иногда удобно следующее соглашение о пересечении пустого семейства подмножеств (оно принято, например, в трактате «Элементы математики» Н. Бурбаки): считается, что пересечение пустого семейства подмножеств множества $X$ равно самому $X$. Это соглашение часто упрощает определения и построения (например, бывает удобно считать, что любое семейство $\mathcal{A}$ подмножеств множества $X$, замкнутое относительно конечных пересечений, всегда содержит $X$ – как пересечение своего пустого подсемейства), но может привести к путанице и поэтому требует аккуратного применения. При таком соглашении в формулах (2а)–(2b) не требуется предположения о непустоте $S$ и $\mathcal{A}$ [так, в случае $\mathcal{A}=\varnothing$ обе части второго равенства в (2b) равны $\varnothing$]. В аксиоматических системах теории множеств, включающих понятие собственных классов (т. е. классов, не являющихся множествами), доказывается, что $\bigcap\varnothing=\mathfrak U$, где $\mathfrak U=\{x:x=x\}$ – собственный класс, называемый универсумом (см., например, Келли. 1981. С. 327).

Декартово произведение

Декартово (или прямое) произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ семейства множеств $\{A_s\}_{s\in S}$ – это множество всех отображений $\varphi\colon S\to\bigcup\limits_{s\in S}A_s$, таких что $\varphi(s)\in A_s$ для любого $s\in S$. Декартово произведение пустого семейства (случай $S=\varnothing$) представляет собой одноэлементное множество (его единственный элемент – это тождественное отображение пустого множества в себя). Если $A_s=A$ для всех $s\in S$, то декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ совпадает с множеством $A^S$ всех отображений $\varphi\colon S\to A$. Для $\varphi\in\prod\limits_{s\in S}A_s$ элемент $\varphi(s)\in A_s$ называется $s$-й координатой отображения $\varphi$, а элемент произведения $\prod\limits_{s\in S}A_s$, $s$-я координата которого равна $a_s\in A_s$ (для каждого $s\in S$), часто обозначается через $\{a_s\}_{s\in S}$. То же самое выражают и так: декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ состоит из всевозможных индексированных наборов $\{a_s\}_{s\in S}$, где $a_s\in A_s$ для любого $s\in S$.

Если хотя бы одно из множеств $A_s$ пусто, то декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ пусто; обратное утверждение представляет собой одну из эквивалентных формулировок аксиомы выбора: декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ любого семейства $\{A_s\}_{s\in S}$ непустых множеств не пусто.

Коммутативность и ассоциативность операций

Пусть $\{A_s\}_{s\in S}$ – семейство множеств и $\psi\colon S\to R$ – биекция между множествами $S$ и $R$. Тогда семейство $\{A_{\psi(s)}\}_{s\in S}$, по определению, есть функция, ставящая в соответствие каждому $s\in S$ множество $A_{\psi(s)}$. Имеют место равенства

$$\bigcup_{s\in S} A_s=\bigcup_{s\in S}A_{\psi(s)}, \quad \bigcap_{s\in S} A_s=\bigcap_{s\in S}A_{\psi(s)}$$(обобщённая коммутативность объединения и пересечения семейства множеств; во второй формуле следует предполагать, что $S\neq\varnothing$, либо принять соглашение о пересечении пустого семейства подмножеств, считая, что все $A_s$ суть подмножества некоторого заданного множества $X$).

В отличие от объединения и пересечения семейства множеств $\{A_s\}_{s\in S}$ его декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$, строго говоря, не есть то же самое множество, что $\prod\limits_{s\in S}A_{\psi(s)}$, но существует очевидная каноническая биекция между этими двумя множествами, поэтому обычно их отождествляют:

$$\prod_{s\in S}A_s=\prod_{s\in S}A_{\psi(s)}$$(обобщённая коммутативность декартова произведения семейства множеств).

Если $\{S_t\}_{t\in T}$ – разбиение множества $S$ (т. е. $S=\bigcup\limits_{t\in T} S_t$, причём $S_t\neq\varnothing$ при всех $t\in T$ и $S_{t_1}\cap S_{t_2}=\varnothing$ при $t_1\neq t_2$), то

$$\bigcup_{s\in S}A_s=\bigcup_{t\in T}\Bigl(\bigcup_{s\in S_t} A_s\Bigr),\quad \bigcap_{s\in S}A_s=\bigcap_{t\in T}\Bigl(\bigcap_{s\in S_t} A_s\Bigr)$$(обобщённая ассоциативность объединения и пересечения семейства множеств; во второй формуле следует предполагать, что $S\neq\varnothing$, либо, как и выше в формуле коммутативности пересечения, принять соглашение о пересечении пустого семейства подмножеств).

Декартово произведение $\prod\limits_{s\in S}A_s$ не есть то же самое множество, что $\prod\limits_{t\in T}\bigl(\prod\limits_{s\in S_t}A_s\bigr)$, но между ними существует очевидная каноническая биекция, поэтому эти два множества часто считают равными:

$$\prod\limits_{s\in S}A_s=\prod_{t\in T}\Bigl(\prod_{s\in S_t}A_s\Bigr)$$(обобщённая ассоциативность декартова произведения семейства множеств).

Формулы дистрибутивности

Пусть дано семейство множеств $\{A_s\}_{s\in S}$, $S\neq\varnothing$, и $\{S_t\}_{t\in T}$ – разбиение множества $S$. Тогда имеют место следующие формулы (обобщённой) дистрибутивности:

$$\begin{gathered} \bigcap_{t\in T}\bigcup_{s\in S_t} A_s= \bigcup_{\varphi\in\Phi} \ \bigcap_{t\in T}A_{\varphi(t)},\\ \bigcup_{t\in T}\bigcap_{s\in S_t} A_s= \bigcap_{\varphi\in\Phi} \ \bigcup_{t\in T}A_{\varphi(t)},\\ \prod_{t\in T}\bigcup_{s\in S_t} A_s= \bigcup_{\varphi\in\Phi} \ \prod_{t\in T}A_{\varphi(t)},\\ \prod_{t\in T}\bigcap_{s\in S_t} A_s= \bigcap_{\varphi\in\Phi} \ \prod_{t\in T}A_{\varphi(t)}, \end{gathered}$$где $\Phi=\prod\limits_{t\in T}S_t$. (Первая формула выражает дистрибутивность пересечения относительно объединения, вторая – дистрибутивность объединения относительно пересечения, третья и четвёртая – дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и пересечения соответственно.)

Простым следствием этих формул являются формулы дистрибутивности для семейства множеств $\{A_{t,s}\}_{t\in T,\ s\in S}$ с двойными индексами (предполагается, что $T\neq\varnothing$ и $S\neq\varnothing$):

$$\begin{gathered} \bigcap_{t\in T}\bigcup_{s\in S}A_{t,s}=\bigcup_{\varphi\in S^T}\,\bigcap_{t\in T} A_{t,\varphi(t)},\\ \bigcup_{t\in T}\bigcap_{s\in S}A_{t,s}=\bigcap_{\varphi\in S^T}\,\bigcup_{t\in T} A_{t,\varphi(t)},\\ \prod_{t\in T}\bigcup_{s\in S}A_{t,s}=\bigcup_{\varphi\in S^T}\,\prod_{t\in T} A_{t,\varphi(t)},\\ \prod_{t\in T}\bigcap_{s\in S}A_{t,s}=\bigcap_{\varphi\in S^T}\,\prod_{t\in T} A_{t,\varphi(t)}. \end{gathered}$$

Варианты обозначений

Индексированное семейство множеств $\{A_s\}_{s\in S}$ иногда обозначают сокращённо: $\{A_s\}$ (если это не приводит к неоднозначностям, среди которых может быть понимание $\{A_s\}$ как обозначения одноэлементного множества, единственным элементом которого является множество $A_s$), а его объединение, пересечение и декартово произведение обозначают соответственно $\bigcup A_s$, $\bigcap A_s$ и $\prod A_s$.

Объединение последовательности множеств $\{A_i\}_{i=1}^n$ (или $\{A_i\}_{i=1}^\infty$) обозначается $\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$ (или, соответственно, $\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i$); обозначения пересечения и декартова произведения последовательности множеств аналогичны. Кроме того, объединение, пересечение и декартово произведение конечной последовательности множеств очень часто обозначаются развёрнуто:

$$\begin{gathered}A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n,\quad A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n\\ \text{и }A_1\times A_2\times\ldots\times A_n\end{gathered}$$соответственно.