Пряма́я Зоргенфре́я (стрелка Зоргенфрея), вещественная прямая с модифицированной топологией, открытой базой которой служат всевозможные полуинтервалы вида $[a,b)$ при $a<b$.

Далее прямая Зоргенфрея обозначается через $\mathbb S$.

Основные свойства прямой Зоргенфрея

1. Топология прямой Зоргенфрея является более сильной, чем евклидова (обычная) топология вещественной прямой $\mathbb R$, т. е. каждое множество, открытое в обычной топологии на $\mathbb R$, открыто и в топологии прямой Зоргенфрея.

2. $\mathbb S$ гомеоморфно каждому своему подпространству вида $[a, b)$ (отсюда другое название пространства $\mathbb S$: «стрелка Зоргенфрея» или просто «стрелка»), а также каждому подпространству вида $(a,b)$, где $a<b$. При этом $[a,b)$ является открыто-замкнутым, а $(a,b)$ открытым, но не замкнутым подмножеством пространства $\mathbb S$. Д. Бурке и Дж. Мур (Burke. 1998) показали, что непустое подпространство $Z$ прямой Зоргенфрея гомеоморфно ей самой в том и только том случае, если $Z$ не имеет изолированных точек и является одновременно $F_\sigma$- и $G_\delta$-множеством в $\mathbb{S}$.

3. $\mathbb S$ хаусдорфово, удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй (вес, и даже сетевой вес пространства $\mathbb S$ равен мощности континуума), при этом оно наследственно сепарабельно и поэтому неметризуемо.

4. $\mathbb S$ сильно нульмерно; любое его компактное подпространство счётно (и нигде не плотно в евклидовой топологии).

5. $\mathbb S$ наследственно линделёфово (следовательно, паракомпактно) и совершенно нормально, но квадрат $\mathbb S\times\mathbb S$ не нормален (и тем более не паракомпактен и не линделёфов); тем самым прямая Зоргенфрея представляет собой важный пример, показывающий, что каждое из свойств нормальности, паракомпактности и линделёфовости не является конечно мультипликативным (т. е. не сохраняется конечными топологическими произведениями).

Пространство «две стрелки»

С прямой Зоргенфрея тесно связано топологическое пространство, называемое «две стрелки». Множеством его точек является подмножество $X=A_0\cup A_1$ координатной плоскости $\mathbb R^2$, где

$$\begin{gathered}A_0=(0,1]\times\{0\}=\{(x,0):0<x\leqslant 1\},\\ A_1=[0,1)\times\{1\}=\{(x,1):0\leqslant x< 1\},\end{gathered}$$а топология порождена базой, состоящей из всевозможных множеств вида

$$\begin{gathered}L_{ab}=(a,b]\times\{0\}\cup (a,b)\times\{1\}=\{(x,i): a<x<b,\ i=0,1\}\cup\{(b,0)\},\\ R_{ab}=(a,b)\times\{0\}\cup [a,b)\times\{1\}=\{(x,i): a<x<b,\ i=0,1\}\cup\{(a,1)\},\end{gathered}$$где $0\leqslant a<b\leqslant 1$.

Пространство «две стрелки».Пространство «две стрелки».Пространство $X$ является неметризуемым компактом с первой аксиомой счётности; каждое из его подпространств $A_0$, $A_1$ всюду плотно в нём и гомеоморфно прямой Зоргенфрея. Кроме того, пространство $X$ наследственно сепарабельно, наследственно линделёфово, совершенно нормально; при этом его квадрат $X\times X$, являясь, как всякий компакт, нормальным пространством, не является наследственно нормальным.

Исторические и библиографические сведения

Определение пространства «две стрелки» (неявно содержащее описание прямой Зоргенфрея), было дано П. С. Александровым и П. С. Урысоном (Alexandroff. 1929; рус. пер.: Александров. 1971). Независимо от Александрова и Урысона (см. об этом Cameron. 1998) Р. Зоргенфрей явно определил пространство $\mathbb S$ в качестве примера паракомпактного пространства, квадрат которого не нормален и тем более не паракомпактен (Sorgenfrey. 1947). После появления этой работы прямая Зоргенфрея стала одним из «универсальных контрпримеров» в общей топологии. Изучение свойств прямой Зоргенфрея и близких к ней пространств в дальнейшем стало предметом многочисленных исследований.