Лока́льно компа́ктное простра́нство, топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью с компактным замыканием. Более подробно: топологическое пространство $X$ локально компактно, если для любой точки $x\in X$ найдётся такое открытое множество $U$, что $\overline U$ компактно (где $\overline U$ обозначает замыкание множества $U$).

Всякое компактное пространство локально компактно. Бесконечное дискретное пространство $D(\mathfrak m)$, вещественная прямая $\mathbb R$, евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ являются примерами локально компактных некомпактных пространств. Подпространство $\mathbb Q$ вещественной прямой, состоящее из рациональных чисел, не является локально компактным (в нём даже не существует непустых открытых множеств с компактными замыканиями). Бесконечномерное банахово пространство (в топологии, порождённой нормой) не является локально компактным.

Замкнутое подпространство локально компактного пространства локально компактно. Топологическое произведение конечного семейства локально компактных пространств локально компактно; топологическое произведение $\prod\limits_{s\in S}X_s$ произвольного семейства $\{X_s\}_{s\in S}$ непустых топологических пространств локально компактно в том и только том случае, если каждое из этих пространств локально компактно, и все они за исключением, быть может, конечного числа, компактны (т. е. существует такое конечное множество $S_0\subset S$, что $X_s$ компактно при всех $s\in S\setminus S_0$).

Наиболее важными и интересными свойствами обладают хаусдорфовы локально компактные пространства, поэтому многие авторы включают в определение локальной компактности требование хаусдорфовости.

Основные свойства хаусдорфовых локально компактных пространств следующие.

1. Хаусдорфово пространство локально компактно в том и только том случае, если оно гомеоморфно открытому подпространству некоторого хаусдорфова компактного пространства.

2. Хаусдорфово локально компактное пространство является тихоновским.

3. Локально компактное подпространство $L$ хаусдорфова пространства $X$ локально замкнуто в нём (в частности, если $L$ всюду плотно в $X$, то $L$ открыто); локально замкнутое (в частности, открытое или замкнутое) подпространство локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно.

4. Если $A$ – компактное подмножество хаусдорфова локально компактного пространства $X$, то для каждого открытого множества $V$, содержащего множество $A$, найдётся такое открытое $U$, что $A\subset U\subset\overline U\subset V$ и множество $\overline U$ компактно (это свойство обычно выражают фразой: «компактное подмножество хаусдорфова локально компактного пространства имеет фундаментальную систему компактных окрестностей»). Более того, существует непрерывная функция $f\colon X\to[0,1]$ такая, что $f(x)=0$ при $x\in A$, $f(x)=1$ при $x\in X\setminus V$ и множество $f^{-1}([0,a])$ является компактным при всех $0\leqslant a<1$.

Иногда локально компактные пространства определяют с помощью более сильного требования: топологическое пространство $X$ локально компактно, если для любых точки $x\in X$ и содержащего её открытого множества $V$ найдётся такое открытое множество $U$, что $x\in U\subset\overline U\subset V$ и $\overline U$ компактно (другими словами, в определение локальной компактности включается регулярность пространства). Этому требованию удовлетворяют хаусдорфовы локально компактные пространства; для так определённых локально компактных пространств можно указать свойства, аналогичные свойствам 2–4 (с некоторыми уточнениями).

Понятие хаусдорфова локально компактного пространства было введено П. С. Александровым (Alexandroff. 1923).