Ти́хоновское простра́нство, $T_{1}$-пространство, в котором точки и замкнутые множества разделяются непрерывными вещественными функциями. Более подробно, топологическое пространство $X$ называется тихоновским, если оно является $T_{1}$-пространством (т. е. все его одноточечные подмножества замкнуты) и вполне регулярным (т. е. для любой точки $x\in X$ и любого замкнутого множества $F\subset X$ такого, что $x\notin F$, найдётся непрерывная функция $f\colon X\to[0,1]$, обладающая свойствами: $f(x)=0$ и $f(y)=1$ для всех $y\in F$). В определении тихоновского пространства требование быть $T_{1}$-пространством может быть ослаблено до требования быть $T_0$-пространством (т. е. тихоновские пространства могут быть охарактеризованы как вполне регулярные $T_{0}$-пространства; см. Аксиомы отделимости).

Основные свойства

Каждое тихоновское пространство хаусдорфово и регулярно. В силу леммы Урысона, всякое нормальное $T_{1}$-пространство является тихоновским; обратное неверно: плоскость Немыцкого служит примером тихоновского ненормального пространства.

Пусть $\mathfrak{m}$ – бесконечное кардинальное число. Для топологического пространства $X$ следующие условия эквивалентны:

(i) $X$ – тихоновское пространство веса $\leqslant\mathfrak{m}$;
(ii) $X$ гомеоморфно подпространству тихоновского куба ${\mathbb I}^{ \mathfrak m}$;
(iii) $X$ гомеоморфно подпространству некоторого хаусдорфова компактного пространства веса $\leqslant\mathfrak{m}$.

Таким образом, тихоновские пространства могут быть охарактеризованы (с точностью до гомеоморфизма) как подпространства всевозможных хаусдорфовых компактных пространств.

Подпространство тихоновского пространства является тихоновским; топологическое произведение тихоновских пространств является тихоновским пространством; класс тихоновских пространств инвариантен относительно открыто-замкнутых отображений (т. е. если пространство $X$ – тихоновское, $f\colon X\to Y$ – непрерывное сюръективное отображение, являющееся одновременно открытым и замкнутым, то пространство $Y$ также тихоновское).

Тихоновский функтор

Для каждого топологического пространства $X$ существуют тихоновское пространство $\tau(X)$ и непрерывное сюръективное отображение $\Phi_{X}\colon X\to \tau(X)$, обладающие свойством: каковы бы ни были тихоновское пространство $Y$ и непрерывное отображение $f\colon X\to Y$, существует единственное непрерывное отображение $h\colon\tau(X)\to Y$ такое, что $h\circ\Phi_{X}=f$. Пространство $\tau(X)$ определено этим условием однозначно с точностью до гомеоморфизма. Соответствие $X\mapsto\tau(X)$ (т. н. тихоновская рефлексия пространства $X$) продолжается до функтора из категории $\mathbf{Top}$ топологических пространств в категорию $\mathbf{Tych}$ тихоновских пространств (и непрерывных отображений); этот функтор называется тихоновским функтором. Пространство $X$ является тихоновским тогда и только тогда, когда отображение $\Phi_{X}\colon X\to \tau(X)$ – гомеоморфизм (в этом случае пространства $X$ и $\tau(X)$ обычно отождествляются, т. е. считается, что $X=\tau(X)$, а $\Phi_X$ – тождественное отображение). Функтор $\tau$ не коммутирует с операцией произведения пространств (т. е. соотношение $\tau(X\times Y)=\tau(X)\times\tau(Y)$ в общем случае может не выполняться); вместе с тем имеет место следующее утверждение (Oka. 1978): тихоновское пространство $X$ локально компактно тогда и только тогда, когда $\tau(X\times Y)=X\times\tau(Y)$ для любого топологического пространства $Y$.

Исторические и библиографические сведения

Тихоновские пространства названы в честь А. Н. Тихонова, который назвал эти пространства «вполне регулярными» (Tychonoff. 1930; рус. пер.: Тихонов. 2009) и установил эквивалентность приведённых выше условий (i)–(iii); само свойство вполне регулярности в классе $T_1$-пространств (без введения специального термина) было отмечено ранее П. С. Урысоном (Urysohn. 1925; рус. пер.: Урысон. 1951). Термин «тихоновское пространство» предложен Дж. Тьюки (Tukey. 1940. P. 84). Тихоновский функтор введён Моритой Киити (Morita. 1975); обзор важнейших результатов, связанных с этим функтором, см. в статье (Ishii. 1989).