Дискре́тная тополо́гия, топология на множестве, в которой открыты все его подмножества. Топологическое пространство с такой топологией называется дискретным пространством. Дискретная топология на множестве является сильнейшей среди всех топологий на нём. Если $X$ – дискретное пространство, то любое его отображение $f\colon X\to Y$ в произвольное топологическое пространство $Y$ непрерывно.

Дискретное пространство $X$ может быть определено каждым из следующих эквивалентных свойств:

• любое подмножество $A\subset X$ открыто;

• любое подмножество $A\subset X$ замкнуто;

• замыкание любого множества $A\subset X$ совпадает с $A$;

• внутренность любого множества $A\subset X$ совпадает с $A$;

• граница любого множества $A\subset X$ пуста;

• каждое одноточечное подмножество множества $X$ открыто (т. е. все точки пространства $X$ являются изолированными);

• если $A\subset X$ всюду плотно в $X$, то $A=X$ (т. е. в $X$ отсутствуют всюду плотные подмножества, отличные от самого $X$);

• диагональ $\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}$ является открытым подмножеством топологического произведения $X\times X$.

Дискретное пространство локально компактно; оно является компактным в том и только том случае, если оно конечно. Дискретное пространство метризуемо (в частности, хаусдорфово и нормально): метрика на произвольном множестве $X$, определённая правилом $\rho(x,y)=\begin{cases}1, &\text{если } x\neq y \\ 0, &\text{если } x=y, \end{cases}$задаёт дискретную топологию на $X$.

Два дискретных пространства $X$ и $Y$ гомеоморфны в том и только том случае, если множества $X$ и $Y$ равномощны; поэтому дискретное пространство $X$ с точностью до гомеоморфизма зависит лишь от мощности множества $X$. Дискретное пространство мощности $\mathfrak m$ (где $\mathfrak m$ — кардинальное число) обычно обозначается через $D(\mathfrak m)$. Вес и плотность пространства $D(\mathfrak m)$ равны $\mathfrak m$. Пространство $D(2)$ часто называется дискретным двоеточием; его счётная степень $D(2)^{\aleph_0}$ (т. е. топологическое произведение счётного числа дискретных двоеточий) гомеоморфна канторову совершенному множеству. (Здесь и далее $\aleph_0$ обозначает мощность множества натуральных чисел.)

Множество натуральных чисел, рассматриваемое как топологическое подпространство вещественной прямой, является счётным дискретным пространством. Множество иррациональных чисел (как подпространство вещественной прямой) гомеоморфно топологическому произведению счётного числа счётных дискретных пространств, т. е. пространству $D(\aleph_0)^{\aleph_0}$.

Для произвольного топологического пространства следующие свойства эквивалентны:

• каждая точка $x\in X$ обладает наименьшей (относительно включения) окрестностью;

• пересечение любого семейства открытых подмножеств открыто;

• объединение любого семейства замкнутых подмножеств замкнуто.

Топологическое пространство с любым из этих эквивалентных свойств называется дискретным по Александрову (а топология на нём – дискретной по Александрову). Каждое дискретное пространство $X$ дискретно по Александрову (наименьшей окрестностью каждой точки $x\in X$ является одноточечное множество $\{x\}$); обратное верно, только если $X$ является $T_1$-пространством. Существует каноническое взаимно однозначное соответствие между всеми отношениями предпорядка на множестве $X$ и всеми дискретными по Александрову топологиями на нём. Оно задаётся следующим правилом: каждому отношению предпорядка ${\leqslant}$ на $X$ ставится в соответствие топология, открытыми в которой являются всевозможные множества $W\subset X$ , содержащие вместе с каждой своей точкой $x$ множество ${\uparrow}(x)=\{y\in X:x\leqslant y\}$; тогда для любых точек $x,y\in X$ условие $x\leqslant y$ оказывается равносильным условию $x\in\overline{\{y\}}$, где $\overline{\{y\}}$ обозначает замыкание одноточечного множества $\{y\}$. При этом отношения порядка на множестве $X$ находятся во взаимно однозначном соответствии с дискретными по Александрову топологиями на $X$, удовлетворяющими аксиоме отделимости $T_0$.

Дискретные по Александрову пространства названы в честь П. С. Александрова, который ввёл их под названием дискретных (Alexandroff. 1935); несколько позже было принято современное (приведённое в настоящей статье) определение дискретных пространств.