Алгебраи́ческая систе́ма, множество с определенными на нём операциями и отношениями. Алгебраические системы принадлежат к числу основных математических структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 1950-х гг. на грани между алгеброй и математической логикой.

Основные понятия

Алгебраической системой называется объект $\textbf{A} = \langle A, O, R\rangle$, состоящий из непустого множества $A$, семейства $O$ алгебраических операций $o_i: A^{n_i} \to A (i \in I)$ и семейства $R$ отношений $r_j \subseteq A^{m_j} (j \in J)$, заданных на множестве $A$. Показатели $n_i$, $m_j$ рассматриваемых декартовых степеней множества $A$ предполагаются целыми неотрицательными числами и называются арностями соответствующих операций и отношений. Множество $A$ называется носителем, или основным множеством, алгебраической системы $\textbf{A}$, а его элементы – элементами этой системы. Мощность $|A|$ множества $A$ называется мощностью, или порядком, алгебраической системы $\textbf{A}$. Образ $o_i(a_1, \dots, a_{n_i})$ элемента$(a_1, \dots, a_{n_i}) \in A^{n_i}$ при отображении $o_i: A^{n_i} \to A$ называется значением операции $o_i$ в точке $(a_1, \dots, a_{n_i})$. Аналогично, если $(a_1, \dots, a_{m_j}) \in r_j$, то говорят, что элементы $a_1, \dots, a_{m_j}$ из $A$ находятся в отношении $r_j$, и пишут $r_j(a_1, \dots, a_{m_j})$.

Операции $o_i\,\, (i \in I)$ и отношения $r_j\,\, (j \in J)$, в отличие от других операций и отношений, которые могут быть определены на множестве $A$, называются основными, или главными.

Пара семейств $\langle \{n_i: i\in I\}; \{m_j: j \in J\} \rangle$ называется типом алгебраической системы $\textbf{A}$. Две алгебраических системы $\textbf{A}$, $\textbf{A}'$ однотипны, если $I = I'$, $J=J'$ и $n_i=n_i'$, $m_j= m_j'$ для всех $i \in I$, $j \in J$. Основные операции $o_i$, $o_i'$ и основные отношения $r_j$, $r_j'$ однотипных алгебраических систем $\textbf{A}$, $\textbf{A}'$, имеющих одинаковые индексы в $I$, $J$ соответственно, называются одноименными.

Алгебраическая система $\textbf{A}$ называется конечной, если множество $A$ конечно, и конечного типа, если множество $I \cup J$ конечно. Алгебраическую систему $\textbf{A}$ конечного типа записывают в виде $\textbf{A} = \langle A; o_1, \dots, o_s, r_1, \dots, r_t \rangle$.

Алгебраическая система $\textbf{A} = \langle A, O, R\rangle$ называется универсальной алгеброй, или алгеброй, если множество R основных отношений её является пустым, и моделью, или реляционной системой, если множество $O$ основных операций её пустое. Классическими алгебраическими системами являются группы, кольца, линейные пространства, линейные алгебры, линейно упорядоченные множества, линейно упорядоченные группы, линейно упорядоченные кольца, решётки и т. д.

Непустое подмножество $B$ основного множества $A$ алгебраической системы $\textbf{A} = \langle A, O, R\rangle$ называется замкнутым, если для любых элементов $b_1, \dots b_{n_i}$ из $B$ значение $o_i(b_1, \dots b_{n_i})$ каждой основной операции $o_i \in O$ также принадлежит множеству $B$. Рассматривая операции из $O$ и отношения из $R$ на замкнутом подмножестве $B$, мы получим алгебраическую систему $\textbf{B} = \langle B, O', R'\rangle$, однотипную данной и называемую подсистемой алгебраической системы $\textbf{A}$. Подсистемы алгебр называются подалгебрами, а подсистемы моделей – подмоделями. Понятие подалгебры существенно зависит от множества основных операций рассматриваемой алгебры. Например, группоид $\textbf G$ есть алгебра типа $\langle 2\rangle$, т. е. алгебра с одной основной операцией $G\times G \to G$.

Группоид $\textbf H$ с выделенной единицей $e$ есть алгебра типа $\langle 2, 0\rangle$, выделенный элемент которой обладает по отношению к основной операции $o: H\times H \to H$ свойством $o(e, h) = o(h,e) = h$ для всех $h \in H$. Поэтому всякий подгруппоид группоида $\textbf H$ с выделенной единицей $e$ содержит $e$, тогда как подгруппоид группоида $\langle H, o\rangle$ не обязан содержать элемент $e$. В отличие от алгебр любое непустое подмножество модели может рассматриваться как подмодель.

Алгебраическая система $\textbf{A}$ изоморфна однотипной алгебраической системе $\textbf{A}'$, если существует такое взаимно однозначное отображение $\varphi$ множества $A$ на множество $A'$, что$$\varphi (o_i(a_1,\dots, a_{n_i})) = o_i'(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_{n_i})), \tag{1}$$$$r_j(a_1, \dots, a_{m_j}) \Leftrightarrow r_j'(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_{m_j})) \tag{2}$$для всех $a_1, a_2, \dots$ из $A$ и для всех $i \in I$, $j\in J$. Отображение $\varphi$ с этими свойствами называется изоморфизмом.

Под классом алгебраических систем понимается в дальнейшем только абстрактный класс, т. е. такой класс однотипных алгебраических систем, который содержит с каждой системой $\textbf{A}$ и все изоморфные ей системы. При рассмотрении того или иного класса $\mathcal A$ алгебраических систем все системы из этого класса записывают обычно в определенной сигнатуре следующим образом. Пусть класс $\mathcal A$ имеет тип $\langle \{n_i: i\in I\}, \{m_j: j \in J \}\rangle$. Каждому $i\in I$ сопоставляют некоторый символ $F_i$, называемый функциональным, а каждому $j \in J$ – символ $P_j$, называемый предикатным. Если алгебраическая система $\textbf{A}$ принадлежит классу $\mathcal A$ и $o_i: A^{n_i} \to A$ – основная операция в ней, то элемент $o_i(a_1, \dots, a_{n_i})$ из $A$ записывают в виде $F_i(a_1, \dots, a_{n_i})$. Аналогично если $r_j \subseteq A^{m_j}$ – основное отношение в $A$ и элемент $(a_1, \dots, a_{m_j}) \in r_j$, то пишут $P_j(a_1, \dots, a_{m_j}) =$ И (истинно) или просто $P_j(a_1, \dots, a_{m_j})$. Если же $(a_1, \dots, a_{m_j}) \notin r_j$, то пишут $P_j(a_1, \dots, a_{m_j}) =$ Л (ложно) или $\neg P_j(a_1, \dots, a_{m_j})$. Пусть $\Omega_f = \{ F_i: i\in I\}$, $\Omega_p = \{P_j: j \in J \}$ и $\nu$ – отображение объединения $\Omega_f \cup \Omega_p$ в множество натуральных чисел $\{0, 1, 2, \dots \}$, определяемое формулами: $\nu(F_i) = n_i \, (i \in I)$, $\nu(P_j) = m_j \, (j \in J)$. Объект $\Omega = \langle \Omega_f, \Omega_p, \nu \rangle$ называется сигнатурой класса $\mathcal A$. Конечную сигнатуру записывают в виде строки $\langle F_1^{(n_1)}, \dots, F_s^{(n_s)}, P_1^{(m_1)}, \dots, P_t^{(m_t)} \rangle$ или короче – $\langle F_1, \dots, F_s; P_1, \dots, P_t \rangle$. Алгебраическая система $\textbf A$, записанная в сигнатуре $\Omega$, называется $\Omega$-системой и обозначается $\textbf{A} = \langle A, \Omega \rangle$.

Условия (1), (2) изоморфизма однотипных систем $\textbf A$, $\textbf{A}'$ упрощаются, если эти системы рассматривать в одной сигнатуре $\Omega$. Так, если сигнатурными символами будут $F_i\,\, (i \in I)$, $P_j\,\, (j\in J)$, то (1), (2) примут вид$$\varphi (F_i(a_1,\dots, a_{n_i})) = F_i(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_{n_i})), \tag{3}$$$$P_j(a_1, \dots, a_{m_j}) \Leftrightarrow P_j(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_{m_j})). \tag{4}$$Гомоморфизмом $\Omega$-системы $\textbf A$ в $\Omega$-систему $\textbf{A}'$ называется всякое отображение $\varphi: A \to A'$, удовлетворяющее условию (3) и условию

$$P_j(a_1, \dots, a_{m_j}) \Rightarrow P_j(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_{m_j})) \tag{5}$$ для всех $F_i \in \Omega_f$, $P_j \in \Omega_p$ и для всех $a_1, a_2, \dots$ из $A$. Гомоморфизм $\varphi: \textbf{A} \to \textbf{A}'$ называется сильным, если для любых элементов $b_1, \dots, b_{m_j}$ из $A'$ и для любого предикатного символа $P_j$ из $\Omega_p$ соотношение $P_j(b_1, \dots b_{m_j}) =$ И влечет существование в $A$ таких прообразов $a_1, \dots, a_{m_j}$ элементов $b_1, \dots, b_{m_j}$, для которых $P_j(a_1, \dots, a_{m_j})=$ И. Понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма алгебр совпадают. Для моделей существуют гомоморфизмы, которые не являются сильными, и взаимно однозначные гомоморфизмы, которые не являются изоморфизмами. При гомоморфизме $\varphi: \textbf{A} \to \textbf{A}'$ образами в $\textbf{A}'$ подсистем из $\textbf{A}$ и непустыми полными прообразами в $\textbf{A}$ подсистем из $\textbf{A}'$ являются подсистемы.

Эквивалентность $\theta \subseteq A \times A$ называется конгруэнцией $\Omega$-системы $\textbf A$, если$$\theta(a_1, b_1), \dots \theta(a_{n_i}, b_{n_i}) \Rightarrow \theta(F_i(a_1, \dots, a_{n_i}), F_i(b_1, \dots, b_{n_i}))$$для всех $a_1, b_1, \dots, a_{n_i}, b_{n_i}$ из $A$ и для всех $F_i \in \Omega_f$.

Для каждого гомоморфизма $\varphi$ алгебраической системы $\textbf A$ бинарное отношение $\theta(a, b)$, истинное тогда и только тогда, когда $\varphi(a)=\varphi(b)$, является конгруэнцией в $\textbf A$, которая называется ядерной. Для произвольной конгруэнции $\theta$ $\Omega$-системы $\textbf A$ и для каждого элемента $a \in A$ множество $a/\theta = \{x\in A: \theta(x, a)\}$ называется смежным классом алгебраической системы $\textbf A$ по конгруэнции $\theta$. Полагая для каждых $F_i \in \Omega_f$, $P_j \in \Omega_p$,$$F_i(a_1/\theta, \dots, a_{n_i}/\theta) = F_i (a_1, \dots, a_{n_i})/\theta$$и$$P_j(b_1/\theta, \dots, b_{m_j}/\theta) = \text{И},$$тогда и только тогда, когда существуют такие элементы $c_1, \dots c_{m_j}$ в $A$, что $\theta(b_1, c_1), \dots \theta(b_{m_j}, c_{m_j})$ и $P_j(c_1, \dots c_{m_j})$, мы получим алгебраическую систему $\textbf{A}/\theta$, однотипную данной и называемую факторсистемой алгебраической системы $\textbf A$ по конгруэнции $\theta$. Для каждой конгруэнции $\theta$ алгебраической системы $\textbf A$ каноническое отображение $\varphi(a) = a/\theta \,\, (a \in A)$ является гомоморфизмом алгебраической системы $\textbf A$ на факторсистему $\textbf{A}/\theta$, для которого данная конгруэнция $\theta$ ядерная. Если $\varphi$ есть гомоморфизм алгебраической системы $\textbf A$ на алгебраическую систему $\textbf{A}'$ и $\theta$ – ядерная конгруэнция для $\varphi$, то отображение $\psi(a/\theta) = \varphi(a)$ является гомоморфизмом факторсистемы $\textbf{A}/\theta$ на алгебраическую систему $\textbf{A}'$. Если при этом гомоморфизм $\varphi$ сильный, то $\psi$ есть изоморфизм.

Декартовым произведением $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha = \langle A_\alpha, \Omega\rangle (\alpha \in \Lambda \ne \emptyset)$ называется $\Omega$-система $\textbf{D} = \langle D, \Omega \rangle$, в которой $D$ есть декартово произведение основных множеств $A_\alpha (\alpha \in \Lambda)$, а основные операции и основные отношения на $D$ задаются условиями: $F_i (d_1, \dots, d_{n_i}) \, (d_1, \dots, d_{n_i} \in D, F_i \in \Omega_f)$ есть элемент $d \in D$ с координатами $d(\alpha) = F_i (d_1(\alpha), \dots, d_{n_i}(\alpha)) \, (\alpha \in \Lambda)$, $P_j(d_1, \dots, d_{m_j})=$ И $(P_j \in \Omega_p)$ тогда и только тогда, когда $P_j(d_1(\alpha), \dots, d_{m_j}(\alpha))=$ И для всех $\alpha \in \Lambda$.

Язык 1-й ступени

Основным формальным языком теории алгебраических систем является язык 1-й ступени $L$, который строится следующим образом. Алфавит языка $L$ в заданной сигнатуре $\Omega = \langle \Omega_f, \Omega_p, \nu \rangle, \Omega_f = \{F_i; i\in I\}, \Omega_p = \{P_j; j \in J \}$ состоит из предметных переменных $x_1, x_2, \dots$, функциональных символов $F_i (i \in I)$, предикатных символов $P_j (j \in J)$, символов логических связок: $$\&, \, \lor, \, \to, \, \neg, \, =,$$кванторов:

$\forall x_k$ – «для каждого элемента $x_k$»,

$\exists x_k$ – «существует такой элемент $x_k$»

и вспомогательных символов: скобок и запятых. Для выражения свойств (1-й ступени) $\Omega$-систем употребляются конечные последовательности алфавитных символов, или слова, составленные по определенным правилам и называемые термами и формулами. Индуктивно полагают, что каждое слово вида $x_k$ или $F_i$ при $\nu (F_i) = 0$ есть терм; если f$_1, \dots, f_n$ – термы и $n = \nu(F_i)$, то $F_i(f_1, \dots, f_n)$ – также терм.

Если $\textbf A$ есть $\Omega$-система и $f(x_1, \dots, x_n)$ – терм сигнатуры $\Omega$, содержащий предметные переменные $x_1, \dots, x_k$, то, заменяя $x_1, \dots x_k$ какими-нибудь элементами $a_1,\dots,a_k$ из $A$ и выполняя над последними операции в $\textbf A$, соответствующие входящим в терм символам из $\Omega_f$, получают элемент $f(a_1, \dots, a_k)$ из $A$, называемый значением терма $f(x_1, \dots, f_k)$ при $x_1 = a_1, \dots, x_k = a_k$. Если $\varphi$ – гомоморфизм $\Omega$-системы $\textbf A$ в $\Omega$-систему $\textbf{A}'$, то$$\varphi(f(a_1, \dots,a_k)) = f(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_k)).$$Понятие формулы сигнатуры $\Omega$, свободных и связанных предметных переменных в ней определяется также индуктивно:

1) если $P$ – какой-нибудь предикатный символ из $\Omega$ или знак равенства $=$, $m = \nu(P)$ или $2$ соответственно, а $f_1, \dots f_m$ произвольные термы сигнатуры $\Omega$, то слово $P(f_1, \dots f_m)$ есть формула, в которой все предметные переменные свободны;

2) если $\mathcal F$ – формула, то $\neg \mathcal F$ – также формула.

Свободные (связанные) предметные переменные в формуле $\neg \mathcal F$ те и только те, которые являются свободными (связанными) в $\mathcal F$;

3) если $\mathcal F_1, \mathcal F_2$ – формулы и предметные переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то слова$$\mathcal F_1 \& \mathcal F_2, \, \mathcal F_1 \lor \mathcal F_2, \, \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \tag{6}$$– также формулы.

Предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул $\mathcal F_1, \mathcal F_2$, называются свободными (связанными) и в формулах (6);

4) если предметное переменное $x_k$ входит свободно в формулу $\mathcal F$, то слова$(\forall x_k) \mathcal F$, $(\exists x_k) \mathcal F$ снова являются формулами, в которых переменное $x_k$ связанное, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу $\mathcal F$ свободно или связанно, остаются такими же и в формулах $(\forall x_k) \mathcal F$, $(\exists x_k) \mathcal F$.

Если заданы $\Omega$-система $\textbf A$ и формула$\mathcal F$ сигнатуры $\Omega$, то, придавая всем свободным предметным переменным $x_1, \dots x_k$ в $\mathcal F$ какие-нибудь значения $a_1, \dots, a_k$ из $A$ и интерпретируя функциональные и предикатные символы, входящие в $\mathcal F$, как соответствующие основные операции и основные отношения в $A$, мы получим конкретное высказывание, которое будет истинным или ложным.

В соответствии с этим формуле $\mathcal F$ приписывают значение И или Л при $x_1 = a_1, \dots, x_k = a_k$, обозначаемое $\mathcal F(a_1, \dots, a_k)$. Если $\varphi$ – изоморфное отображение $\Omega$-системы $\textbf A$ на $\Omega$-систему $\textbf{A}'$, то$$\mathcal F(a_1, \dots, a_k) = \mathcal F(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_k))$$для всех $a_1, \dots, a_k$ из $A$.

Формула $\mathcal F$ называется замкнутой, если она не содержит свободных предметных переменных. Для любой замкнутой формулы $\mathcal F$ сигнатуры $\Omega$ и произвольной $\Omega$-системы $\textbf A$ можно говорить об истинности или ложности $\mathcal F$ в $\textbf A$. Совокупность $S$ замкнутых формул данной сигнатуры $\Omega$ называется выполнимой, или совместной, если существует $\Omega$-система, в которой истинны все формулы из $S$.

Теорема компактности или локальная теорема Гёделя – Мальцева

Если выполнима каждая конечная часть бесконечной совокупности $S$ замкнутых формул какой-то сигнатуры $\Omega$, то выполнима и вся совокупность $S$.

Аксиоматизируемые классы

Пусть $S$ – некоторая совокупность замкнутых формул сигнатуры $\Omega$. Класс всех $\Omega$-систем, в которых истинны все формулы из $S$, будет обозначаться $KS$. Совокупность ${\rm Th} \mathcal A$ всех замкнутых формул сигнатуры $\Omega$, истинных во всех $\Omega$-системах из заданного класса $\mathcal A$, называется элементарной теорией класса $\mathcal A$. В частности, если $(\textbf{A})$ – класс $\Omega$-систем, изоморфных данной $\Omega$-системе $\textbf A$, то ${\rm Th}(\textbf{A})$называется элементарной теорией $\Omega$-системы $\textbf A$ и обозначается просто ${\rm Th}\textbf{A}$. Класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем называется аксиоматизируемым, если $\mathcal A =K {\rm Th} \mathcal A$. Класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем аксиоматизируем тогда и только тогда, когда существует такая совокупность $S$ замкнутых формул сигнатуры $\Omega$, что $\mathcal A = KS$.

Наряду с общим понятием аксиоматизируемости рассматривают аксиоматизируемость при помощи формул 1-й ступени специального вида. Наиболее важными в алгебре специальными формулами заданной сигнатуры $\Omega$ являются:

тождества – формулы вида$$(\forall x_1) \dots (\forall x_s) P(f_1, \dots, f_m),$$где $P$ – какой-либо предикатный символ из $\Omega$ или знак равенства $=$, а$f_1, \dots, f_m$ – термы сигнатуры $\Omega$ от $x_1, \dots x_s$;

квазитождества – формулы вида$$(\forall x_1) \dots (\forall x_s) [P(f_1, \dots, f_k) \& \dots \& Q(g_1, \dots, g_m)) \to R(h_1, \dots, h_n)],$$где $P, \dots, Q, R$ – некоторые предикатные символы из $\Omega_p$ или знаки равенства, а $f_1, \dots, f_k, g_1, \dots, g_m, h_1, \dots, h_n$ – термы сигнатуры $\Omega$ от $x_1, \dots, x_s$;

универсальные формулы – формулы вида$(\forall x_1) \dots (\forall x_s) \mathcal F$, где $\mathcal F$ – формула сигнатуры $\Omega$, не содержащая кванторов.

Если задано множество $S$ тождеств (квазитождеств или универсальных формул) сигнатуры $\Omega$, то класс $KS$ называется многообразием (квазимногообразием или универсальным классом) $\Omega$-систем.

Теорема Биркгофа

Непустой класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подсистем, декартовых произведений и гомоморфных образов.

Если $\textbf A = \langle A, \Omega \rangle$ – некоторая $\Omega$-система, то, заменяя каждый функциональный символ $F_i$ из $\Omega_f$ предикатным символом $F_i^*$ арности $n_i + 1$ (на $1$ выше) и полагая для элементов $a_1, \dots, a_{n_i}, a$ из $A$$F_i^*(a_1, \dots, a_{n_i}, a) \Leftrightarrow F_i(a_1, \dots, a_{n_i})=a,$ мы получим модель $\textbf{A}^* = \langle A, \Omega^*\rangle$, для которой $\Omega_p^* = \Omega_p \cup \{ F_i^*: F_i \in \Omega_f \}$. Подмодели модели $\textbf{A}^*$ называются подмоделями $\Omega$-системы $\textbf A$. Для любых непустых конечных подмножеств $A_\alpha \subseteq A$, $\Omega_\beta^* \subseteq \Omega^*$ модель $\textbf{A}_{\alpha \beta} = \langle A_\alpha, \Omega_\beta^*\rangle$ называется конечным обеднением конечной подмодели $\textbf{A}_\alpha = \langle A_\alpha, \Omega^*\rangle$ $\Omega$-системы $\textbf A$. $\Omega$-система $\textbf A$ называется локально вложимой в класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем, если для каждого конечного обеднения $\textbf{A}_{\alpha \beta}$ любой конечной подмодели $\textbf{A}_\alpha$ $\Omega$-системы $\textbf A$ существует в классе $\mathcal A$ такая $\Omega$-система $\textbf B$ (зависящая от выбранного конечного обеднения $\textbf{A}_{\alpha \beta}$), что модель $\textbf{A}_{\alpha \beta} = \langle A_\alpha, \Omega_\beta^*\rangle$ изоморфна модели $\textbf{B}_{\alpha \beta} = \langle B_\alpha, \Omega_\beta^*\rangle$ для подходящего под­множества $B_\alpha \subseteq B$.

Подкласс $\mathcal C$ класса $\mathcal A$ $\Omega$-систем называется универсальным (или универсально аксиоматизируемым) в $\mathcal A$, если существует такая совокупность $S$ универсальных формул сигнатуры $\Omega$, что $\mathcal C = KS \cap \mathcal A$.

Теорема Тарского – Лося

Подкласс $\mathcal C$ класса $\mathcal A$ $\Omega$-систем универсален в $\mathcal A$ тогда и только тогда, когда $\mathcal C$ содержит все системы из $\mathcal A$, локально вложимые в $\mathcal C$.

Фильтрованные произведения

Пусть $\textbf{D} = \prod \textbf{A}_\alpha$ –

декартово произведение $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha (\alpha \in \Lambda, \Lambda \ne \emptyset)$ и $\Phi$ – некоторый фильтр над $\Lambda$. Отношение $$d \equiv {}_{\Phi}h \Leftrightarrow \{ \alpha \in \Lambda: d(\alpha) = h(\alpha) \} \in \Phi \, (d, h \in D)$$есть эквивалентность на основном множестве $D$ $\Omega$-системы $\textbf D$. Для каждого элемента $d\in D$ пусть $d/\Phi$ есть смежный класс по этой эквивалентности и $D/\Phi = \{d/\Phi: d\in D\}$. Полагая$$F_i(d_1/\Phi, \dots, d_{n_i}/\Phi) = d\Phi \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \{ \alpha: F_i(d_1(\alpha), \dots, d_{n_i}(\alpha)) = d(\alpha) \} \in \Phi (F_i \in \Omega_f), \, P_j(d_1/\Phi, \dots, d_{m_j}/\Phi) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \{\alpha: P_j(d_1(\alpha), \dots, d_{m_j}(\alpha))\} \in \Phi(P_j \in \Omega_p),$$можно получить $\Omega$-систему $\textbf{D}/\Phi = \langle D/\Phi, \Omega \rangle$, которая называется фильтрованным по фильтру $\Phi$ произведением $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha (\alpha \in \Lambda)$. $\Omega$-системы $\textbf{A}_\alpha (\alpha \in \Lambda)$ называются сомножителями этого произведения. Если $\Phi$ – ультрафильтр над $\Lambda$, то фильтрованное произведение $\textbf{D}/\Phi$ называется ультрапроизведением $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha (\alpha \in \Lambda)$.

Теорема об ультрапроизведениях. Если $\textbf{D}/\Phi$ – ультрапроизведение $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha (\alpha \in \Lambda)$ и $\mathcal F(x_1, \dots, x_k)$ – произвольная формула сигнатуры $\Omega$, в которой свободными предметными переменными являются $x_1, \dots x_k$, то для любых элементов $d_1, \dots d_k \in D$$$\mathcal F(d_1/\Phi, \dots, d_k/\Phi) = \text{И} \Leftrightarrow \{ \alpha: \mathcal F(d_1(\alpha), \dots, d_k(\alpha)) =\text{И}\} \in \Phi.$$В частности, замкнутая формула $\mathcal F$ сигнатуры $\Omega$ истинна в ультрапроизведении $\textbf{D}/\Phi$ $\Omega$-систем $\textbf{A}_\alpha$ ($\alpha \in \Lambda$) тогда и только тогда, когда множество номеров сомножителей, в которых формула $\mathcal F$ истинна, принадлежит ультрафильтру $\Phi$. Поэтому всякий аксиоматизируемый класс $\Omega$-систем замкнут относительно ультрапроизведений.

Класс $L$ $\Omega$-систем универсально аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подсистем и ультрапроизведений.

$\Omega$-система $\textbf{E} = \langle \{ e \}, \Omega\rangle$ называется единичной, если её основное множество состоит из одного элемента, скажем $e$, и $P_j(e,\dots,e)=$ И для всех $P_j \in \Omega_p$.

Теорема Мальцева. Класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную $\Omega$-систему и замкнут относительно подсистем и фильтрованных (по произвольному фильтру) произведений.

Полнота и категоричность

Непустой класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем называется категоричным, если все $\Omega$-системы из $\mathcal A$ изоморфны между собой. Всякий категоричный аксиоматизируемый класс $\Omega$-систем состоит из одной (с точностью до изоморфизма) конечной $\Omega$-системы.

Класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем называется категоричным в мощности $\textbf m$, если он содержит $\Omega$-систему мощности $\textbf m$ и все $\Omega$-системы из $\mathcal A$, имеющие мощность $\textbf m$, изоморфны между собой. Например, класс алгебраически замкнутых полей фиксированной характеристики категоричен в любой несчетной бесконечной мощности. Непустой класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем называется полным, если для любых $\Omega$-систем $\textbf A$, $\textbf B$ из $\mathcal A$ имеет место равенство ${\rm Th} \textbf{A} = {\rm Th} \textbf{B}$.

Теорема Booта. Если аксиоматизируемый класс $\mathcal A$ $\Omega$-систем категоричен в некоторой мощности $\textbf{m} \ge |\Omega_f \cup \Omega_p|$ и все $\Omega$-системы из $\mathcal A$ бесконечны, то $\mathcal A$ – полный класс.

В частности, класс всех алгебраически замкнутых полей фиксированной характеристики является полным.

См. также Автоморфизм алгебраической системы, Квазимногообразие алгебраических систем, Класс алгебраических систем, Многообразие алгебраических систем.