Многообра́зие Фа́но, гладкое полное неприводимое алгебраическое многообразие $X$ над полем $k$, антиканонический пучок $K_X^{-1}$ которого обилен. Основы изучения таких многообразий заложены Дж. Фано (Fano. 1931; 1942).

Многообразие Фано размерности $2$ называется поверхностью дель Пеццо и является рациональной поверхностью. Многомерные аналоги поверхностей дель Пеццо – многообразия Фано размерности $>2$ – уже не все являются рациональными многообразиями, например общая кубика в проективном пространстве $\mathbf{P}^4$.

Хорошо изучены трёхмерные многообразия Фано (Mori. 198; Исковских. 1977; 1978). О многообразиях Фано размерности больше $3$ известны лишь отдельные частные результаты.

Группа Пикара $\operatorname{Pic} X$ трёхмерного многообразия Фано $X$ конечно порождена и не имеет кручения. В случае когда основное поле $k$ совпадает с полем $\mathbb{C}$, ранг группы $\operatorname{Ріс} X$, равный второму числу Бетти $b_2(X)$, не больше $10$ (Roth. 1950). Если $b_2(X) \geqslant 6$, то многообразие Фано изоморфно $\mathbf{P}^1 \times S_{11-b_2(X)}$, где $S_d$ – поверхность дель Пеццо степени $d$. Многообразие Фано $X$ называется примитивным, если не существует моноидального преобразования $\sigma: X \rightarrow X^{\prime}$ гладкого многообразия $X^{\prime}$ с центром в неособой неприводимой кривой. Если многообразие Фано $X$ примитивно, то $b_2(X) \leqslant 3$. Если $b_2(X)=3,$ то $X$ является расслоением на коники над $S=\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1$, другими словами, тогда существует морфизм $\pi: X \rightarrow S$, слой которого изоморфен конике, т. е. алгебраической схеме, заданной однородным уравнением степени $2$ в $\mathbf{P}^2$. Многообразие Фано $X$ с $b_2(X)=2$ является расслоением на коники над проективной плоскостью $\mathbf{P}^2$ (Mori, Mukai. 1981). В случае $b_2(X)=1$ существует 18 типов многообразий Фано, которые описаны (Исковских. 1979).

Для трёхмерных многообразий Фано $X$ индекс самопересечения антиканонического дивизора $\left(-K_X^3\right) \leqslant 64$. Наибольшее целое число $r \geqslant 1$ такое, что $H^{\otimes r}$изоморфно $K_X^{-1}$ для некоторого дивизора $H \in \operatorname{Pic} X$, называется индексом многообразия Фано. Индекс трёхмерного многообразия Фано может принимать значения $1,2,3,4$. Многообразие Фано индекса $4$ изоморфно проективному пространству $\mathbf{P}^3$, а многообразие Фано индекса $3$ изоморфно гладкой квадрике $Q \subset \mathbf{P}^4$. Если $r=2$, то индекс самопересечения $d=H^3$ может принимать значения $1 \leqslant d \leqslant 7$, причём каждое из них реализуется на некотором многообразии Фано. Для многообразия Фано индекса $1$ отображение $\varphi_{K_X^{-1}}: X \rightarrow \mathrm{P}^{\operatorname{dim}}\left|K_X^{-1}\right|$, определяемое линейной системой $\left|K_X^{-1}\right|$, имеет степень $\operatorname{deg} \varphi_{K_X^{-1}}=1$ или $2$. Описаны многообразия Фано индекса $1$, для которых $\operatorname{deg} \varphi_{K_X^{-1}}=2$. Если $\operatorname{deg} \varphi_{K_X^{-1}}=1$, то многообразие Фано $X$ реализуется как подмногообразие $V_{2 g-2}$ степени $2 g-2$ в проективном пространстве $\mathbf{P}^{g+1}$. Число $g$ называется родом многообразия Фано $V_{2 g-2}$ и совпадает с родом канонической кривой – сечения многообразия $X$ при антиканоническом вложении в $\mathbf{P}^{g+1}$. Известна классификация многообразий Фано $V_{2 g-2} \subset \mathbf{P}^{g+1}$, класс гиперплоского сечения которых совпадает с антиканоническим классом и порождает группу $\operatorname{Pic}V_{2 g-2}$ (Roth. 1950; Исковских. 1977; 1978).