Бесконе́чно удалённые элеме́нты (несобственные элементы), элементы (точки, прямые, плоскости и т. д.), возникающие при расширении некоторого аффинного пространства до компактного пространства. Бесконечно удалённые элементы являются одной из форм проявления в различных математических теориях «актуальной» бесконечности. При этом неразрывная связь бесконечного и конечного проявляется в том, что бесконечно удалённые элементы имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются при некоторой конкретной компактификации данного «конечного» пространства. Ниже описываются виды бесконечно удалённых элементов, возникающие при наиболее часто применяемых способах компактификации евклидовых конечномерных пространств.

1) Введением бесконечно удалённых элементов (точек $-\infty$ и $+\infty$) числовая прямая $\mathbb R$ пополняется до компактной расширенной числовой прямой $\bar{\mathbb R}$, гомеоморфной отрезку. Другой способ компактификации состоит в погружении $\mathbb R$ в действительную проективную прямую $P_1(\mathbb R) = \tilde{\mathbb R}$, гомеоморфную окружности $S_1$ (см. Проективное пространство); при этом $\mathbb R$ пополняется одной-единственной бесконечно удалённой точкой $\infty$.

2) Добавлением одной-единственной бесконечно удалённой точки $\infty$ конечная комплексная плоскость $\mathbb C$ пополняется до компактной расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb C}$, гомеоморфной комплексной проективной прямой или сфере Римана $S_2$ (единичной сфере в евклидовом пространстве ${\mathbb R}^3$).

3) Добавлением одной-единственной бесконечно удалённой точки $\infty$ $n$-мерное действительное числовое пространство ${\mathbb R}^n$, $n\geqslant 1$, пополняется до компактного расширенного числового пространства $\tilde{\mathbb R}^n$, гомеоморфного сфере $S_n$; этот гомеоморфизм наглядно демонстрируется стереографической проекцией. Другой способ компактификации состоит в погружении ${\mathbb R}^n$ в $n$-мерное действительное проективное пространство $P_n(\mathbb R)$. При $n>1$ эти две компактификации не гомеоморфны.

Например, параллельным прямым в проективной плоскости $P_2(\mathbb R)$ соответствует одна и та же бесконечно удалённая точка, непараллельным прямым – различные бесконечно удалённые точки. Все бесконечно удалённые точки плоскости $P_2(\mathbb R)$ составляют бесконечно удалённую прямую. Аналогично, в проективном пространстве $P_3(\mathbb R)$ каждая плоскость дополнена бесконечно удалённой прямой. Все бесконечно удалённые точки и бесконечно удалённые прямые в $P_3(\mathbb R)$ составляют бесконечно удалённую плоскость. Вообще, в $P_n(\mathbb R)$ все бесконечно удалённые элементы размерности $\leqslant (n-2)$ составляют бесконечно удалённую $(n-1)$-мерную гиперплоскость.

4) Компактификация комплексного $n$-мерного числового пространства $\mathbb C^n$, $n\geqslant 1$, также возможна посредством погружения $\mathbb C^n$ в комплексное $n$-мерное проективное пространство $P_{n}$$(\mathbb{C})$. В $P_{n}(\mathbb{C})$ также все бесконечно удалённые элементы размерности $\leqslant(n-2)$ составляют комплексную $(n-1)$-мерную бесконечно удалённую гиперплоскость. Другой способ компактификации состоит в расширении $\mathbb{C}^{n}$ до расширенного комплексного пространства $\overline{\mathbb{C}^{n}}$, представляющего собой топологическое произведение $n$ пространств $\overline{\mathbb{C}}$. При $n>1$ пространства $P_{n}(\mathbb{C})$ и $\overline{\mathbb{C}^{n}}$ не гомеоморфны. Бесконечно удалёнными точками пространства $\overline{\mathbb{C}^{n}}$ являются те наборы $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$, в которых хотя бы одна координата $z_{\nu}=\infty$. Множество всех бесконечно удалённых точек пространства $\overline{\mathbb{C}^{n}}$ естественно разбивается на $n$ множеств$$M_{\nu}=\left\{z \in \overline{\mathbb{C}^{n}} ; \quad z_{\nu}=\infty ; \quad z_{k} \in \overline{\mathbb{C}}, \quad k \neq \nu\right\},$$причём каждое $M_{\nu}$ имеет размерность $n-1$. Точка $(\infty, \ldots, \infty)$ принадлежит всем $M_{\nu}$, $\nu=1, \ldots, n$. При рассмотрении действительных функций в $\mathbb{C}^{n}$ применима также одноточечная компактификация $\widetilde{\mathbb{C}}^{n}$, гомеоморфная $\widetilde{R}^{2 n}$ или сфере $S_{2 n}$.