Крити́ческая то́чка, 1) критическая точка порядка $m$, такая точка $a$ комплексной плоскости, в которой аналитическая функция $f(z)$ регулярна, а её производная $f^{\prime}(z)$ имеет нуль порядка $m$, где $m$ – натуральное число. Иными словами, критическая точка определяется условиями:

$$\lim _{z \rightarrow a} \frac{f(z)-f(a)}{(z-a)^m}=0,\quad \lim _{z \rightarrow a} \frac{f(z)-f(a)}{(z-a)^{m+1}} \neq 0 .$$Бесконечно удалённая критическая точка $a=\infty$ порядка $m$ для функции $f(z)$, регулярной в бесконечности, определяется условиями:

$$\lim _{z \rightarrow \infty}[f(z)-f(\infty)] z^m=0, \quad \lim _{z \rightarrow \infty}[f(z)-f(\infty)] z^{m+1} \neq 0.$$При аналитическом отображении $w=f(z)$ угол между двумя кривыми, выходящими из критической точки порядка $m$, увеличивается в $m+1$ раз. Если функция $f(z)$ рассматривается как комплексный потенциал некоторого плоского течения несжимаемой жидкости, то критическая точка характерна тем, что через неё проходит не одна, а $m+1$ линий тока, причём скорость течения в критической точке обращается в нуль. Для обратной функции $z=\psi(w)$ такой, что $f[\psi(w)] \equiv w$, критическая точка $a$ является алгебраической точкой ветвления порядка $m+1$.

2) Точка $a$ комплексного $(n-m)$-мерного неприводимого аналитического множества

$$M=\left\{z \in V ; f_1(z)=f_2(z)=\ldots=f_m(z)=0\right\},$$заданного в окрестности $V$ точки $a$ комплексного пространства $\mathbb{C}^n$ условиями $f_1(z)=f_2(z)=\ldots=f_m(z)=0$, где $f_1, f_2, \ldots, f_m$ – голоморфные на $V$ функции $n$ комплексных переменных, $z=\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ называются критическими точками, если ранг матрицы Якоби $\left\|\partial f_j / \partial z_k\right\|$, $j=1, \ldots, m$; $k=1, \ldots, n$, меньше числа $m$. Прочие точки $M$ называются правильными. Критических точек на $M$ сравнительно мало – они образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше $n-m-1$. В частности, при $m=1$, т. е. если $M=\left\{f_1(z)=0\right\}$ и размерность $M$ равна $n-1$, размерность множества критических точек не выше $n-2$.

3) Критическая точка гладкого (т. е. непрерывно дифференцируемого) отображения $f k$-мерного дифференцируемого многообразия $M$ в $l$-мерное дифференцируемое многообразие $N$ – такая точка $x_0 \in M$, что ранг $\mathrm{R k}_{x_0} f$ отображения $f$ в этой точке (т. е. размерность образа $d f\left(T_{x_0} M\right)$ касательного пространства к $M$ под действием дифференциала $d f: T_{x_0} M \rightarrow T_{f\left(x_0\right)} N$) меньше $l$. Совокупность всех критических точек называется критическим множеством, образ $f\left(x_0\right)$ критической точки $x_0$ – критическим значением, а точка $y \in N$, не являющаяся образом никакой критической точки, – регулярной точкой, или регулярным значением (хотя она может вообще не принадлежать образу $f(M)$); некритические точки из $M$ тоже называются регулярными.

Согласно теореме Сарда, если $f$ имеет класс гладкости $C^m$, $m>\min (k-l, 0)$, то образ критического множества имеет первую категорию в $N$ (т. е. является объединением не более чем счётной системы нигде не плотных множеств) и имеет $l$-мерную меру нуль (см. Sard. 1942; Стернберг. 1970). Условие на $m$ не может быть ослаблено (Whitney. 1935). Чаще всего бывает нужен случай $m=\infty$ (при этом доказательство упрощается, см. Милнор. 1997). Эта теорема широко используется для приведения в общее положение посредством «малых шевелений»; например, с её помощью легко доказать, что если в $\mathbb{R}^n$ имеются два гладких подмногообразия, то сколь угодно малым сдвигом одного из них можно достичь, чтобы их пересечение тоже было подмногообразием (см. Стернберг. 1970; Милнор. 1997, а также Tрансверсальность отображений).

Согласно приведённому определению, при $k<l$ каждую точку $x_0 \in M$ надо считать критической. Но при этом существенно различаются свойства тех точек $x_0$, для которых $\mathrm{R} \mathrm{k}_{x_0} f=k$, и тех, для которых $\mathrm{R k}_{x_0} f<k$. В первом случае в некоторой окрестности точки $x_0$ отображение $f$ выглядит приблизительно как стандартное вложение $\mathbb{R}^k$ в $\mathbb{R}^l$; точнее, имеются такие локальные координаты $x_1, \ldots, x_k$ вблизи $x_0$ (на $M$) и $y_1, \ldots, y_l$ вблизи $f\left(x_0\right)$ (на $N$), что в этих координатах $f$ представляется в виде

$$y_i=x_i, \quad i \leqslant k ; \quad y_{k+1}=\ldots=y_l=0 \text {. }$$Во втором случае образ окрестности точки $x_0$ может не быть многообразием, а иметь различные особенности – заострения, самопересечения и т. д. Поэтому определение критической точки часто модифицируют, понимая под критическими точками те точки $x_0$, для которых $\mathrm{Rk}_{x_0} f<\min (k, l)$; соответственно модифицируется и смысл других приведённых выше терминов (Голубицкий. 1977).

Поведение отображений в окрестности критических точек изучается в теории особенностей дифференцируемых отображений (см. Голубицкий. 1977; Брекер. 1977). При этом рассматриваются не произвольные критические точки (о которых мало что можно сказать), а критические точки, удовлетворяющие условиям «не слишком сильной вырожденности» и «типичности». Так, рассматриваются критические точки достаточно гладких отображений или семейств отображений (достаточно гладко зависящих от конечного числа параметров), являющиеся «неустранимыми» в том смысле, что при малом (в смысле $C^m$ с подходящим $m$) возмущении исходного отображения или семейства у возмущённого отображения (семейства) в некоторой окрестности исходной критической точки имеется критическая точка того же типа. Для отображения $M \rightarrow \mathbb{R}$ (т. е. обычной скалярной функции; в этом случае критические точки часто называют стационарными точками) типичными в указанном смысле являются т. н. невырожденные критические точки, в которых гессиан – невырожденная квадратичная форма (о типичных критических точках для семейства функций см. Брекер. 1977; Арнольд. 1972).