Расшире́ние по́ля в математике, поле, содержащее данное поле в качестве подполя. Запись $K/k$ означает: $K$ – расширение поля $k$. Поле $K$ в этом случае называется также надполем поля $k$.

Пусть $K/k$ и $L/k$ – два расширения поля $k$. Изоморфизм полей $\varphi\colon K\to L$ называется изоморфизмом расширений (или $k$-изоморфизмом полей), если $\varphi$ тождествен на $k$. Если изоморфизм расширений существует, то расширения называются изоморфными. В случае $K=L$ изоморфизм $\varphi$ называется автоморфизмом расширения $K/k$. Множество всех автоморфизмов расширения образует группу $G(K/k) =\mathop{\mathrm{Aut}}(K/k)$, называемую группой Галуа поля $K$ относительно $k$, или группой Галуа расширения $K/k$. Расширение называется абелевым, если эта группа абелева.

 Элемент поля $\alpha$ называется алгебраическим над $k$, если он удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с коэффициентами из поля $k$, и трансцендентным – в противном случае. Для каждого алгебраического элемента $\alpha$ существует единственный многочлен $f_\alpha(x)$ со старшим коэффициентом, равным $1$, неприводимый в кольце многочленов $k[x]$ и такой, что $f_\alpha(\alpha)=0$, и всякий многочлен над $k$, корнем которого является элемент $\alpha$, делится на $f_\alpha(x)$. Этот многочлен называется минимальным многочленом элемента $\alpha$. Расширение $K/k$ называется алгебраическим, если всякий элемент из $K$ алгебраичен над $k$. Расширение, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Расширение называется нормальным, если оно алгебраическое и всякий неприводимый в $k$ многочлен, обладающий корнем в $K$, разлагается в $K[x]$ на линейные множители. Подполе $k$ называется алгебраически замкнутым в $K$, если каждый алгебраический над $k$ элемент из $K$ на самом деле лежит в $k$, т. е. всякий элемент из $K/k$ трансцендентен над $k$. Поле, алгебраически замкнутое в любом своём расширении, является алгебраически замкнутым полем.

Расширение $K/k$ называется конечно порождённым (или расширением конечного типа), если в $K$ существует такое конечное подмножество элементов $S$, что $K$ совпадает с наименьшим подполем, содержащим $S$ и $k$. В этом случае говорят, что $K$ порождается множеством $S$ над $k$. Если $K$ может быть порождено над $k$ множеством из одного элемента $\alpha$, то расширение называется простым и обозначается $K=k(\alpha)$. Простое алгебраическое расширение $k(\alpha)$ полностью определяется минимальным многочленом $f_\alpha$ порождающего элемента $\alpha$. Точнее, если $k(\beta)$ – другое простое алгебраическое расширение и $f_\alpha=f_\beta$, то существует изоморфизм расширений $k(\alpha)\to k(\beta)$, переводящий $\alpha$ в $\beta$. Далее, для любого неприводимого многочлена $f\in k[x]$ существует простое алгебраическое расширение $k(\alpha)$ с минимальным многочленом $f_\alpha=f$. Оно может быть построено как факторкольцо $k[x]/fk[x]$. С другой стороны, для всякого простого трансцендентного расширения $k(\alpha)$ существует изоморфизм расширений $k(\alpha)\to k(\beta)$, где $k(x)$ – поле рациональных функций от $x$ над $k$. Любое расширение конечного типа может быть получено с помощью конечной цепочки простых расширений.

Расширение $K/k$ называется конечным, если $K$ как алгебра конечномерна над полем $k$, и бесконечным, если эта алгебра бесконечномерна. Размерность этой алгебры называется степенью расширения $K/k$ и обозначается $[K:k]$. Каждое конечное расширение является алгебраическим и каждое алгебраическое расширение конечного типа – конечным. Степень простого алгебраического расширения совпадает со степенью соответствующего минимального многочлена. Напротив, простое трансцендентное расширение бесконечно.

 Пусть дана последовательность расширений $K\subset L\subset M$. Расширение $M/K$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда и $L/K$ и $M/L$ – алгебраические расширения. Далее, $M/K$ конечно тогда и только тогда, когда конечны $L/K$ и $M/L$, причём $$[M:K]=[M:L]\cdot[L:K].$$Если $P/k$ и $Q/k$ – два алгебраических расширения и $PQ$ – композит полей $P$ и $Q$ в некотором их общем надполе, то $PQ/k$ также алгебраическое расширение.

См. также Сепарабельное расширение поля.