Геоме́трия Ри́мана (эллиптическая геометрия), одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых в значительной части отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной геометрии Римана являются точки, прямые и плоскости; основные понятия геометрии Римана суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности фигур. Требования аксиом геометрии Римана, касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии. Соответственно, в геометрии Римана имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом геометрии Римана, касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом евклидовой геометрии, во всяком случае, они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее, для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус $R$ этой сферы – один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число $K=1/R^2$ называется кривизной пространства Римана (чем меньше $K$, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е. если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то любые две точки плоскости $α$, не лежащие на прямой $a$, можно соединить отрезком, не пересекая прямой $a$).

Первое сообщение о геометрии Римана было сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1868), где геометрия Римана рассматривалась как частный случай римановой геометрии – теории римановых пространств в широком смысле. Геометрия Римана относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.