Элемента́рная тео́рия чи́сел, раздел теории чисел, изучающий свойства чисел элементарными методами. Такие методы включают использование свойств делимости, различных форм аксиомы индукции и комбинаторные соображения. Иногда понятие элементарных методов расширяют за счёт привлечения простейших элементов математического анализа. Традиционно неэлементарными считают доказательства, в которых используются мнимые числа.

К элементарной теории чисел обычно относят задачи, возникающие в таких разделах теории чисел, как теория делимости, теория сравнений, теоретико-числовые функции, неопределённые уравнения, разбиения на слагаемые, аддитивные представления, приближения рациональными числами, цепные дроби. Нередко решение таких задач приводит к необходимости выходить за рамки элементарных методов. Иногда вслед за отысканием неэлементарного решения какой-нибудь задачи находят и её элементарное решение.

Задачи элементарной теории чисел имеют, как правило, многовековую историю и нередко стоят у истоков современных направлений теории чисел и алгебры.

Из сохранившихся клинописных таблиц древних вавилонян можно сделать вывод, что им не были чужды задачи разложения натуральных чисел на простые множители. В 5 в. до н. э. пифагорейцы построили т. н. учение о чётных и нечётных числах и обосновали предложение: произведение двух натуральных чисел чётно тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей – чётное число. Общая теория делимости, по существу, была построена Евклидом. В его «Началах» (3 в. до н. э.) вводится алгоритм отыскания наибольшего общего делителя двух целых чисел и на этой основе намечается обоснование основной теоремы арифметики целых чисел: о возможности и единственности разложения натурального числа в произведение простых сомножителей.

После того как К. Ф. Гаусc в начале 19 в. построил теорию делимости для целых комплексных чисел, стало ясно, что изучение произвольного кольца нужно начинать с построения теории делимости в нём.

Все свойства целых чисел так или иначе связаны с простыми числами. Поэтому вопросы распределения простых чисел в натуральном ряду издавна интересовали учёных. Евклиду принадлежит первое доказательство бесконечности множества простых чисел. Только в середине 19 в. П. Л. Чебышёв сделал следующий шаг в изучении функции $\pi(x)$ – числа простых чисел, не превосходящих $x$. Ему удалось элементарными средствами доказать неравенства, из которых следовало, что$$0,92129 \frac{x}{\ln x}<\pi(x)<1,10555 \ldots \frac{x}{\ln x}$$для всех достаточно больших $x$. В действительности, $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$, но это удалось установить только в конце 19 в. средствами комплексного анализа. Долгое время считалось, что этот результат не может быть получен элементарно. Однако А. Сельберг (1949) получил элементарное доказательство этой теоремы. П. Л. Чебышёву удалось также доказать, что для $n \geqslant 2$ интервал $(n, 2 n)$ содержит хотя бы одно простое число. Уточнение интервала, содержащего хотя бы одно простое число, требует более глубокого изучения поведения функции $\pi(x)$.

В 3 в. до н. э. был разработан метод решета Эратосфена – выделения простых чисел из множества натуральных чисел. В 1919 г. В. Брун показал, что видоизменение этого метода может служить основой для изучения множества почти простых чисел. Им была получена теорема Бруна о простых близнецах. Решето Бруна является частным случаем общих методов решета, дающих оценки для количества почти простых чисел, не превосходящих $x$ и принадлежащих последовательности натуральных чисел $\left\{a_n\right\}$. Методы решета позволяют получать такие оценки, если известны «хорошие» приближения в среднем для количества чисел $a_n \leqslant x$, принадлежащих прогрессиям, модуль которых растёт вместе с $x$. Среди методов решета, развитых после работ В. Бруна, особое значение приобрело решето Сельберга. Наиболее сильные результаты получают сочетанием методов решета с аналитическими. Метод решета в сочетании с методом Шнирельмана дал возможность эффективно найти значение $k$, такое, что любое натуральное число $n \geqslant 4$ можно представить суммой не более $k$ простых чисел.

Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m \geqslant 1$, если они дают одинаковые остатки при делении на число $m$. Для этого отношения на множестве целых чисел К. Ф. Гаусс (1801) ввёл запись $a \equiv b(\bmod m)$. Эта форма записи, выявляющая аналогию сравнений с уравнениями, оказалась удобной и способствовала развитию теории сравнений.

Многие результаты, полученные до этого П. Ферма, Л. Эйлером, Ж. Лагранжем и др., а также китайская теорема об остатках просто формулируются и доказываются на языке теории сравнений. Один из наиболее интересных результатов этой теории – квадратичный закон взаимности.

Древним вавилонянам было известно большое количество «пифагоровых троек», видимо, им был известен какой-то способ, позволяющий находить сколько угодно целочисленных решений неопределённого уравнения $x^2+y^2=z^2$. Пифагорейцы пользовались формулами $x=\frac{a^2-1}{2}$, $y=a$, $z=\frac{a^2+1}{2}$ для отыскания таких решений этого уравнения. Евклид указал метод, позволяющий последовательно находить целочисленные решения уравнения $x^2-2 y^2=1$ (частный случай уравнения Пелля). В «Арифметике» Диофанта (3 в.) заметна попытка построения теории неопределённых уравнений (см. Диофантовы уравнения). В частности, Диофант при решении уравнений 2-й степени и некоторых уравнений высших степеней систематически пользуется приёмом, который позволяет ему находить из одного рационального решения данного уравнения другие рациональные решения того же уравнения. П. Ферма (17 в.) открыл новый метод – «метод спуска» и решил ряд уравнений таким методом, но объявленная им как решённая великая теорема Ферма оказалась не под силу элементарным методам.

П. Ферма решил задачу о представлении натуральных чисел суммой двух квадратов целых чисел. В результате исследований Ж. Лагранжа (1773) и К. Гаусса (1801) была решена задача о представлении чисел определённой бинарной квадратичной формой. Гаусс построил общую теорию бинарных квадратичных форм. Решение задачи о представлении чисел формами более высокой степени (например, проблема Варинга) и квадратичными формами с большим числом переменных обычно выходит за рамки элементарных методов. Только некоторые частные случаи таких задач решаются элементарно. Примером может служить теорема Лагранжа: каждое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел. Следует заметить, что в своей «Арифметике» Диофант неоднократно пользовался возможностью представить натуральное число суммой четырёх квадратов целых чисел.

К элементарной теории чисел относят теорию разбиений, основы которой были заложены Л. Эйлером (1751). Одна из основных задач теории разбиений – изучение функции $P(n)$ – числа представлений натурального числа $n$ в виде суммы натуральных слагаемых. В теории разбиений рассматривают и другие функции подобного типа.

Цепные дроби появились в связи с задачами приближённых вычислений (извлечение квадратного корня из натурального числа, отыскание приближения действительных чисел обыкновенными дробями с малыми знаменателями). Цепные дроби находят применение при решении неопределённых уравнений 1-й и 2-й степени. Используя аппарат цепных дробей, И. Г. Ламберт (1766) впервые установил иррациональность числа $\pi$. При решении различных задач о приближении действительных чисел рациональными числами в элементарной теории чисел наряду с цепными дробями используют также принцип Дирихле.

В теории чисел легко назвать большое число элементарно формулируемых и нерешённых до сих пор задач. Например: конечно или нет множество чётных совершенных чисел; существует ли хотя бы одно нечётное совершенное число; конечно или нет множество простых чисел Ферма; конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна; конечно или нет множество простых чисел вида $n^2+1$; верно ли, что между квадратами любых соседних натуральных чисел содержится хотя бы одно простое число; ограничено или нет множество неполных частных разложения $\sqrt[3]{2}$ в цепную дробь.