Свёртка фу́нкций $f$ и $g$, новая функция

$$\displaystyle h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) dy.$$Операция над функциями, задаваемая этим интегралом, также называется свёрткой и обозначается $f*g$. Если $f$ и $g$ – плотности распределений вероятностей независимых случайных величин $X$ и $Y$, то $h$ является плотностью распределения вероятностей суммы $X+Y$. Свёртка функций распределения $F$ и $G$ называется функция

$$\displaystyle H(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(x-y) dG(y),\tag{*}$$где интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Операция, задаваемая этим интегралом, обозначается $F*G$и также называется свёрткой. Если $F$ и $G$ – функции распределения независимых случайных величин $X$ и $Y$, то $H(x)=(F*G)(x)$ является функцией распределения суммы $X+Y$. Если $Y$ принимает только значения $y_1, y_2, \ldots$ с вероятностями $q_1, q_2, \ldots,$ то интеграл в $(*)$ сводится к сумме

$$\displaystyle H(x) = \sum_{k \geqslant 1} q_k F(x-y_k).$$Операции свёртки коммутативны и ассоциативны, поэтому естественным образом определяется, например, многократная свёртка $F^{*n}$ одинаковых функций распределения $F$, которая является функцией распределения суммы $X_1+\ldots+X_n$ независимых случайных величин с общей функцией распределения $F$, и справедливо, например, равенство

$$\displaystyle F^{*n} - G^{*n} = \sum_{j=0}^{n-1} F^{*(n-j-1)} * G^{*j} * (F-G),$$которое является аналогом соответствующего равенства для степеней чисел.