#Гильбертово пространствоГильбертово пространствоИсследуйте Области знанийУ нас представлены тысячи статейТегГильбертово пространствоГильбертово пространствоНайденo 28 статейТерминыТермины Спектральное разложение линейного оператораСпектра́льное разложе́ние лине́йного опера́тора, представление оператора в виде интеграла по спектральной мере (спектральной функции). Для любого самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве существует такая спектральная функция , чтоТермины Унитарный операторУнита́рный опера́тор, линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство на линейное нормированное пространство и такой, что . Наиболее важными являются унитарные операторы, отображающие гильбертово пространство в себя.Термины Банахова алгебраБа́нахова а́лгебра, топологическая алгебра над полем комплексных чисел, топология которой определяется нормой, превращающей в банахово пространство, причём умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Банахова алгебра называется коммутативной, если для всех . Теория банаховых алгебр (в особенности коммутативных банаховых алгебр) имеет многочисленные приложения в различных областях функционального анализа и ряде других математических дисциплин.Термины След на C*-алгебреСлед на -а́лгебре, – функция на множестве положительных элементов алгебры , принимающая значения в , аддитивная, однородная относительно умножения на положительные числа и удовлетворяющая условию для всех . След называется конечным, если для всех ; полуконечным, если для всех .Термины Расширение оператораРасшире́ние опера́тора, линейный оператор, график которого содержит график данного линейного оператора. Тот факт, что оператор есть расширение оператора , записывается в виде . Обычные задачи теории расширений: максимально расширить оператор, сохраняя определённое свойство, или изучить расширения оператора, обладающие некоторым дополнительным свойством. Пусть, например, дан изометрический оператор в гильбертовом пространстве с областью определения и областью значений ; тогда изометрические расширения оператора находятся во взаимно однозначном соответствии с изометрическими отображениями из в . В частности, имеет унитарные расширения, когда размерности и совпадают.Термины Спектральный радиусСпектра́льный ра́диус элемента банаховой алгебры, радиус наименьшего круга на плоскости, содержащего спектр этого элемента. Спектральный радиус элемента связан с нормами его степеней формулой из которой следует, в частности, что .Научные законы, утверждения, уравнения Лемма МорсаЛе́мма Мо́рса, утверждение, описывающее строение ростка дважды непрерывно дифференцируемой функции. Пусть – функция класса , имеющая точку своей невырожденной критической точкой. Тогда в некоторой окрестности точки существует такая система локальных координат (карта) с центром в , что для всех имеет место равенствоПри этом число , , является индексом Морса критической точки функции .Термины Собственное значениеСо́бственное значе́ние оператора (преобразования) векторного пространства над полем , элемент такой, что существует ненулевой вектор , удовлетворяющий условиюВектор в этом равенстве называется собственным вектором оператора , принадлежащим собственному значению .Термины Симметричная алгебраСимметри́чная а́лгебра, алгебра над полем комплексных чисел, снабжённая инволюцией , . Примерами симметричной алгебры являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в которой инволюция определяется как переход к комплексно-сопряжённой функции; алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, в которой инволюция определяется как переход к сопряжённому оператору; групповая алгебра локально компактной группы; алгебра мер на локально компактной группе.Термины Несамосопряжённый операторНесамосопряжённый опера́тор, линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряжённых операторов и её простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Несамосопряжённые операторы возникают при рассмотрении процессов, протекающих без сохранения энергии: в задачах с трением, в теории открытых резонаторов, в задачах неупругого рассеяния и др. К исследованию несамосопряжённого оператора приводят и некоторые самосопряжённые задачи, в которых при разделении переменных возникает операторнозначная функция , нелинейно зависящая от спектрального параметра . 123
