Равноме́рная сходи́мость последовательности функций (отображений), свойство последовательности $f_n: X \rightarrow Y$, где $X$ – произвольное множество, $Y$ – метрическое пространство, $n=1,2, \ldots$, к функции (отображению) $f: X \rightarrow Y$, означающее, что для любого $\varepsilon>0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$, что для всех номеров $n>n_{\varepsilon}$ и всех точек $x \in X$ выполняется неравенство

$$\rho\left(f(x), f_n(x)\right)<\varepsilon.$$Это условие равносильно тому, что

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in E} \rho\left(f_n(x), f(x)\right)=0.$$Чтобы последовательность $\left\{f_n\right\}$ равномерно сходилась на множестве $X$ к функции $f$, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность $\left\{\alpha_n\right\}$, что $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_n=0$, и существовал такой номер $n_0$, что для всех $n>n_0$ и всех $x \in X$ выполнялось неравенство

$$\rho\left(f_n(x), f(x)\right) \leqslant \alpha_n.$$Пример. Последовательность $f_n(x)=x^n$, $n=1,2, \ldots$, равномерно сходится на любом отрезке $[0, a]$, $0<a<1$, и не сходится равномерно на отрезке $[0,1]$.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости последовательности функций без использования понятия предельной функции даёт критерий Коши равномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Если $Y$ – линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_n: X \rightarrow Y$ и $g_n: X \rightarrow Y$, $n=1,2, \ldots$, равномерно сходятся на множестве $X$, то при любых $\lambda \in \mathbb{C}$ и $\mu \in \mathbb{C}$ последовательность $\left\{\lambda f_n+\mu g_n\right\}$ также равномерно сходится на $X$.

2. Если $Y$ – линейное нормированное кольцо, последовательность отображений $f_n: X \rightarrow Y$, $n=1, 2, \ldots$, равномерно сходится на множестве $X$ и $g: X \rightarrow Y$ – ограниченное отображение, то последовательность $\left\{g f_n\right\}$ также равномерно сходится на $X$.

3. Если $X$ – топологическое пространство, $Y$ – метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_0 \in X$ отображений $f_n: X \rightarrow Y$ равномерно на множестве $X$ сходится к отображению $f: X \rightarrow Y$, то это отображение также непрерывно в точке $x_0$, то есть

$$\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_0\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow x_0} f_n(x).$$Условие равномерной сходимости последовательности $\left\{f_n\right\}$ на $X$ является в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является $f_n(x)=x^n$, $n=1, 2, \ldots$, на отрезке $[0,1]$. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество $X$ – компакт, $Y$ – множество действительных чисел $\mathbb{R}$, последовательность непрерывных функций $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ во всех точках $x \in X$ одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

$$\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x),$$то для того, чтобы функция $f$ была непрерывной на множестве $X$, необходимо и достаточно, чтобы последовательность $\left\{f_n\right\}$ сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_n:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $n=1,2, \ldots$, равномерно на отрезке $[a, b]$ сходится к функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x \in[a, b]$ имеет место равенство

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^x f_n(t)\, d t=\int_a^x f(t)\, d t=\int_a^x \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(t)\, d t, \tag{*}$$и сходимость последовательности $\left\{\int_a^x f_n(t)\, d t\right\}$ на отрезке $[a, b]$ к функции $\int_a^x f(t)\, d t$ равномерна. Формула (*) обобщается на случай интеграла Стилтьеса. Если же последовательность интегрируемых на отрезке $[a, b]$ функций $f_n$, $n=1,2, \ldots$, просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нём функции $f$, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a, b]$ функций $f_n:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $n=1,2, \ldots$, сходится в некоторой точке $x_0 \in[a, b]$, а последовательность их производных $\left\{\frac{d f_n}{d x}\right\}$ равномерно сходится на $[a, b]$, то последовательность $\left\{f_n\right\}$ также равномерно сходится на отрезке $[a, b]$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

$$\frac{d}{d x} \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d f_n(x)}{d x},\quad a \leqslant x \leqslant b .$$Пусть $X$ – произвольное множество, а $Y$ – метрическое пространство. Семейство функций (отображений) $f_\alpha: X \rightarrow Y$, $\alpha \in \mathfrak{A}$, где $\mathfrak{A}$ – топологическое пространство, называется равномерно сходящимся при $\alpha \rightarrow \alpha_0 \in \mathfrak{A}$ к функции (отображению) $f: X \rightarrow Y$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такая окрестность $U\left(\alpha_0\right)$ точки $\alpha_0$, что для всех $\alpha \in U\left(\alpha_0\right)$ и всех $x \in X$ выполняется неравенство

$$\rho\left(f(x), f_\alpha(x)\right)<\varepsilon.$$Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам равномерной сходимости последовательностей функций.

Понятие равномерной сходимости отображений обобщается на случай, когда $Y$ – равномерное пространство, в частности, когда $Y$ – топологическая группа.