Ме́тод после́довательных приближе́ний (метод повторных подстановок, метод простой итерации), один из общих методов приближённого решения уравнений. В ряде случаев хорошая сходимость построенных этим методом приближений позволяет применять его в практике вычислений.

Пусть $E$ – некоторое множество, на котором задан оператор $A$, отображающий $E$ в себя. Требуется найти неподвижную точку этого оператора, т. е. решение уравнения

$$Ax=x,\,\, x∈E.\tag{1}$$Пусть это уравнение имеет решение $x_*$ и указано какое-либо его начальное приближение $x_0∈E$. С помощью рекуррентного соотношения

$$x_{n+1}=Ax_n,\quad n=0,1,2,\ldots,\tag{2}$$определяется последовательность $\{x_n\}^∞_{n=0}$. Построение этой последовательности и исследование вопроса о её сходимости обычно называют методом последовательных приближений.

Для исследования сходимости последовательности (2), а также для доказательства существования решения уравнения (1) широко применяется сформулированный ниже принцип сжимающих отображений.

Если $E$ – полное метрическое пространство с метрикой $ρ$ и для всех $x$, $y∈E$

$$ρ(Ax,Ay)⩽αρ(x,y),\quad 0\lt α=\text{const}\lt 1,$$то уравнение (1) имеет единственное решение, которое является пределом последовательных приближений (2) при любом начальном приближении $x_0$. Для приближения $x_n$ верна следующая оценка его близости к решению $x_*$:

$$ρ(x_n,x_*)⩽\dfrac{α^n}{1-α}ρ(Ax_0,x_0).$$Пусть, например, $E=\mathbb{R}^n$ – $n$-мерное пространство и оператор $A$ в (1) имеет вид $Ax=Bx+c$, где $B= \| b_{ik}\|$ – квадратная матрица $n$-го порядка, $c=(c_1,\ldots,c_n)$ – заданный, а $x=(x_1,\ldots,x_n)$ – искомый векторы в $\mathbb{R}^n$. Если в этом пространстве метрика определена формулой $ρ(x,y)=\max\limits_{1⩽i⩽n} ∣x_i-y_i∣$ и элементы матрицы $B$ удовлетворяют условию $\sum^n_{k=1}|b_{ik}|\lt 1$ для всех $i=1,\ldots,n$, то из принципа сжимающих отображений следует, что система алгебраических уравнений (1) имеет в $\mathbb{R}^n$ единственное решение, которое можно вычислить со сколь угодно высокой точностью, исходя из произвольного вектора $x_0=(x_1^{(0)},\ldots,x_n^{(0)})$.